（教育精品）2.2.1直线的参数方程

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1、直线的参数方程教学目标：1.联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．3.通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间的联系．教学方式：启发、探究、交流与讨论.教学手段：多媒体课件．教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫教师

2、提出问题：1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．2.直线的方向向量的概念．3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．5.如何建立直线的参数方程？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考．【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．二、直线参数方程探究1．回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题．教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为，那么：①

3、为数轴的单位方向向量，方向与数轴的正方向一致，且；②当与方向一致时（即的方向与数轴正方向一致时），；当与方向相反时（即的方向与数轴正方向相反时），；当M与O重合时，；③．教师用几何画板软件演示上述过程．【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．2.类比分析，异曲同工问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线上的定点为原点，与直线平行且方向向上(

4、的倾斜角不为0时)或向右（的倾斜角为0时）的单位向量确定直线的正方向，同时在直线上确定进行度量的单位长度，这时直线就变成了数轴．于是，直线上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．3.选好参数，柳暗花明问题（1）：当点M在直线上运动时，点M满足怎样的几何条件？让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线当成数轴后，直线上点M运动就等价于向量变化，但无

5、论向量怎样变化，都有．因此点M在数轴上的坐标决定了点M的位置，从而可以选择作为参数来获取直线的参数方程．【设计意图】明确参数．问题（2）：如何确定直线的单位方向向量？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出，从而明确直线的方向向量可以由倾斜角来确定．当时，，所以直线的单位方向向量的方向总是向上．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想

6、．4.等价转化，深入探究问题：如果点,M的坐标分别为，怎样用参数表示？教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：因为，（），，，所以存在实数，使得，即．于是，，即，．因此，经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）．教师提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数的取值范围是什么？③参数的几何意义是什么？总结如下：①，是常量，是变量；②；③由于，且，得到，因此表示直线上的动点M到定点的距离．当的方向与数轴（直线）正方向相同时，；当的方向与数轴（直线）正方向相反时，；当时，点M与点重合．【设计意

7、图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．三、运用知识，培养能力例1.已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点到A,B两点的距离之积．先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：解法一：由，得．设，,由韦达定理得：．．由（*）解得，．所以．则．解法二、因为直线过定点M，且的倾斜角为，所以它的参数方程是（为参数），即（为参数）．把它代入抛物线的方程，得，解得，．由参数的几何意义得：，．在学生解决完后，教师投影展示学生