第4章+根轨迹法

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1、第四章线性系统的根轨迹法4．1根轨迹的基本概念4．2根轨迹的绘制4．3广义根轨迹1948年,W.R.Evans首先提出了求解系统特征方程式的根的图解方法----根轨迹法。其后就在控制工程实践中得到了迅速的发展和广泛的应用。闭环控制系统的动态性能与闭环极点在S平面上的分布位置是密切相关的,分析系统的性能时,往往要求确定系统闭环极点的位置.另一方面,在分析和设计系统时,经常需要研究一个或几个参量变化时,对系统的极点和系统性能的影响。系统的闭环极点就是系统特征方程式的根,对于三阶以上的系统,采用分解因式的古典方法求特征方程式的根通常不容易,特别是当某一参量发生变化(灵敏度)时,需要反复进行

2、计算,这时采用上述方法就显得十分烦琐,难以在实际中应用。4．1根轨迹的基本概念一根轨迹的概念根轨迹法:系统某一参数变化时,绘制闭环系统特征方程的根在S平面的位置变化轨迹的图解方法。根轨迹:开环系统某一参数从零变到无穷时,闭环系统特征方程式的根在S平面上的变化轨迹。一个根形成一条轨迹。根轨迹法的优点：1：从已知的开环零、极点的位置及某一变化参数来求取闭环极点的分布，即解决闭环特征式的求根问题。2：系统的稳定性由系统闭环极点唯一确定，而系统的稳态性能和动态性能与闭环零、极点在S平面的位置密切相关。根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部信息，而且可以指明开环零极点应该怎样变化才能满

3、足给定闭环系统的性能指标要求。R(S)C(S)-闭环传递函数特征方程式解析法全部闭环极点，标注在S平面上，连成光滑的曲线根轨迹0-1根轨迹上的箭头表示随着K值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值则代表与闭环极点位置相应的开环增益K的数值。根轨迹与系统性能1、稳定性：根轨迹不会进入S平面的右半平面该系统对于所有的K都是稳定的2、稳态性能：Ⅰ型系统原点处有一个极点根轨迹上的K值就是静态速度误差系数3、动态性能：0-1其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。特征方程为一对共轭复根，为欠阻尼系统，单位阶跃响应

4、为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随K值的增加而加大，但调节时间不会有显著变化式中v是开环传递函数中含积分环节的个数，由它来确定该系统是零型系统（v=0）,Ⅰ型系统（v=1）或Ⅱ型系统（v=2）等。由第三章，系统的开环增益（或开环放大倍数）为三、根轨迹增益K*与开环系统增益K的关系三：闭环零极点与开环零极点的关系R(S)C(S)-KG为前向通路增益，KG*前向通路根轨迹增益。上页下页返回系统开环传递函数为：闭环系统根轨迹增益＝开环系统前向通路根轨迹增益闭环零点＝开环前向通路传递函数的零点闭环极点与开环零点、开环极点和根轨迹增益都有关。根轨迹法的基本任务：如何由已知的开环零极点分布和根轨

5、迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。＋反馈通路传递函数的极点四：根轨迹方程相角条件：是确定s平面上根轨迹的充要条件。模值条件：确定K*值。式中，Zj为已知的开环零点，Pi为已知的开环极点，K*为可从零变到无穷大的开环根轨迹增益。式(*)称为根轨迹方程，由根轨迹方程，可以画出当K*由零变到无穷大时系统的根轨迹。（*）k=0，±1，±2，…相角条件确定S平面根轨迹的充分必要条件只有在需要确定根轨迹上各点K*的值时，才使用模值条件。综上分析，可以得到如下结论：⑴绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益K*值的大小无关。即在s平面上，所有满足相角条件点的集合构成系统的根轨迹图。即相角条件是绘

6、制根轨迹的主要依据。⑵绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益K*值的大小有关。即K*值的变化会改变系统的闭环极点在s平面上的位置。⑶在系数参数全部确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值条件的s值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。⑷由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。4.2根轨迹的绘制将特征方程化为：1+G(S)H(S)=0如有必要，将另一乘积因子G(S)H(S)化为零极点（开环零极点）的形式，即通常，我们把以开环根轨迹增益K*为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则主要有7

7、条：根轨迹的起点与终点；根轨迹的分支数；实轴上的根轨迹；根轨迹的渐近线；根轨迹在实轴上的分离点；根轨迹的起始角和终止角；根轨迹与虚轴的交点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点证明根轨迹起于开环极点根轨迹终于开环零点大部分开环传递函数的极点多于零点，即n>m，可以认为在s平面的无限远处有（n-m）个零点。若m>n，必有（m-n）个极点在s平面的无限远处。法则1:法则2:根轨迹的分支数等于MAX(m,n)；它们是连续的且对称于实轴。根轨迹起于开环极点，终于开环零