第4章根轨迹法[4.2]

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1、4.2绘制根轨迹的基本法则本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则。重点放在基本法则的叙述和说明上。这些基本法则非常简单，熟练地掌握它们，对于分析和设计控制系统是非常有益的。在下面讨论中，假定所研究的变化参数是根轨迹增益K。这些基本规则同样也适用于其他参数为可变的情况。规则1根轨迹的对称性(Rule1TheSymmetricalCharacteristicoftheLocus)实际系统的开环零极点以及闭环零极点总是实数或共轭复数对。它们往往在s平面上的分布是关于实轴对称的。因此根轨迹也是关于实轴对称的。利用对称的特点，只需绘制实轴上半平面的根轨迹就可以了。规则2根轨迹的分支数、起点和终点(Ru

2、le2NumberofBranchesoftheLocus,StartingPoints,EndPoints)设系统的开环传递函数由式(4-6)所示，则相应的闭环特征方程式为(4-13)由于n≥m，所以特征方程是n次的。当K取任何数值时，它总有n个根，由此便知根轨迹共有n条分支。根轨迹的起点是指当K=0时，根轨迹的位置。由式(4-13)可知，当K=0时，该方程便蜕化为开环特征方程，即上式表明了根轨迹的起点就是开环传递函数的极点。根轨迹的终点是指当根轨迹增益时根轨迹的位置。由式(4-13)得(4-14)当时，它将蜕化成为m次方程，而m≤n。为了避免丢失方程的根。我们在上式中做置换将两端同

3、乘以，便得当时，它化为则上式化为这仍是n次方程，它有n个根：可见方程(4-13)在时n个根应是所以，总数为n条的根轨迹中，有m条的终点就是开环零点，其余(n–m)条的终点在无穷远点。规则3根轨迹在实轴上的分布(Rule3Real-AxisLocus)在实轴上任取一实验点si，若该点右方实轴上开环极点(open-looppole)数和零点数之和为奇数，则点si是根轨迹上的一个点，该点所在的线段就是根轨迹。下面用相角条件说明这个规则。设系统的开环零、极点分布如图4-5所示。在实轴上任取一试验点si，连接所有的开环极点和零点。由图4-5可得出以下结论。图4-5实轴上根轨迹的确定(1)位于点s

4、i右方实轴上的每一个开环极点和零点指向该点的矢量，它们的相角分别为–π和π；而位于点si左方实轴上的开环极点和零点指向该点的矢量，由于其与实轴的指向一致，因而它们的相角都为0。(2)一对共轭极点(或共轭零点)指向点si的矢量的相角分别为–2π(或2π)，因而不会影响实轴根轨迹的确定。由上所述，实轴根轨迹的确定完全取决于点si右方实轴上开环极点数与零点数之和的数目。由相角条件得式中，mr为点si右方实轴上的开环零点数；nr为点si右方实轴上的开环极点数。由上式可知，只要当(mr+nr)为奇数，则此试验点si就满足相角条件，表示该点是根轨迹上的一点。规则4根轨迹的渐近线(Rule4Asym

5、ptotesofLocus)基于上述，当n＞m时，应有(n–m)条根轨迹分支的终点趋向于无限远。这些趋向无限远处根轨迹分支的方位是由下述的渐近线确定的。1.渐近线的倾角设试验点si在s平面的无限远处，则它到各开环极点和零点的矢量与实轴(realaxis)正方向的夹角可视为都是相等的，记为θ。这样，m个开环零点指向si点矢量所产生的相角mθ被m个开环极点指向si点矢量所产生的相角–mθ所抵消。余下(n–m)个开环极点指向si点的矢量实质上是同一条直线，这条直线就是根轨迹的渐近线。如果点si是位于无限远处根轨迹上的一点，则其应满足相角条件，即(4-15)于是得上式表示由(n–m)个开环极点

6、出发的根轨迹分支，当时，将按式(4-15)所示角度的渐进线趋向于无穷远。显然，渐近线的数目等于趋向无穷远根轨迹的分支数，即为(n–m)。2.渐近线与实轴的交点(Real-AxisInte-rceptoftheAsymptotes)根据规则1可知这些渐近线必相交于实轴上。现在来求渐近线于实轴的交点。将式(4-6)的分子和分母分别乘出来，可写成(4-16)当时，式(4-16)近似地用下式表示(4-17)由得渐近线方程(4-18)或根据二项式定理(4-18)在s值很大时，近似有(4-19)(4-20)现在以代入式(4-20)，得将式(4-19)代入式(4-18)，渐近线方程可表示为令实部和虚

7、部分别相等，有从最后两个方程中解出式中在s平面上，式(4-22)代表直线方程，它与实轴的交角为θ，交点为–σα。当k取不同值时，可得n–m个θ角，而σα不变，因此根轨迹渐近线是n–m条与实轴交点为–σα，交角为θ的一组射线。而交角正是渐近线的倾角。(4-24)由于开环复数极点和零点总是成对出现，因而σα总是一个实数。为了便于记忆，也可把式(4-24)简化为规则5根轨迹的分离点和汇合点(Rule5Break-awayPointandBreak-i