理论力学2 质点组力学

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1、理论力学主讲人：谢文法第二章质点组力学质点组力学问题比起质点力学的一些问题要复杂得多，它不仅要了解质点组整体的运动特征，有时还要了解质点组内部各质点相对运动的特征。解决质点组问题所依赖的基本理论仍然是动力学三大定理及与之相对应的三个守恒定律。2.1质点组相互连系着的质点所组成的系统叫做质点组。质点组中质点间相互作用的力，叫做内力；质点组以外的物体对质点组内任一质点的作用力，叫做外力。质点组中诸内力的总和必等于零。如果一个质点组不受任何外力作用，则叫做孤立系或闭合系。在质点组中恒存在一特殊点，它的运动很容易被确定。如果以这个特殊点作为参照点，又常能使问题简化，我们把这个特殊点叫做质点组

2、的质量中心，简称质心。假定由n个质点组成的质点组，各质点的质量是m1，m2，…mn，位于P1，P2…Pn诸点，这些点对于某一指定的参照点O的位矢是，则质心C对此同一点的位矢满足以下关系：在直角坐标系质量连续分布的体系:在直角坐标系如果质心恰好在坐标原点，则质心位矢为=0质心和重心的区别质心：重心：从定义上质点组的全部质量可认为集中在某一点上，这一点我们就叫做质点组的质心。作用于质点系是重力的合力的作用点。二者不是同一点。特殊地，在地球表面附近，认为重力加速度是常矢量时，物体的质心和重心相互重合。例一：p150-2.1求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为，所对的圆心角为。并证半圆片的质

3、心离圆心的距离为。2.2动量定理与动量守恒定律2.2.1动量定理与质心运动定理假定由n个质点组成的质点组，各质点的质量是m1，m2，…mn，位于P1，P2…Pn诸点，这些点对于某一指定的参照点O的位矢是，作用在质点Pi上诸力的合力为，其中内力以表示，外力以表示，由牛顿第二定律，质点Pi的运动微分方程为：由牛顿第三定律，内力总和为零。上式变为：上式左端所以有即质点组的动量对时间的微商，等于质点组中诸外力之矢量和，这就是质点组的动量定理。对质点组中每一质点写出这样的微分方程，共得到n个微分方程。将n个方程相加，得：由质心定义可得：上式两端对时间微分于是有上式表明：质点组质心的运动，就好像

4、一个质点的运动一样，此质点的质量等于整个质点组的质量，作用在此质点上的力，等于作用在质点组上所有诸外力的矢量和，这就是质心运动定理。故质点组受已知外力作用时，每一质点究将如何运动虽然无法知道，但此质点组质心的运动却可完全确定。2.2.2动量守恒定律如质点组不受外力或外力矢量和为零，则：因此＝恒矢量，即＝恒矢量外力为零时，质点组的动量是一恒矢量，它的质心作惯性运动，这个关系，叫做质点组的动量守恒定律。例一：p151-2.7质量为，半径为的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上。有一质量为的质点沿此半球面滑下。设质点的初位置与球心的联线和竖直向上的直线间所成的角为，并且起始时此系统是静止的，

5、求此质点滑到它与球心的联线和竖直向上直线间所成之角为时之值。αθ2.3动量矩定理与动量矩守恒定律2.3.1动量矩定理由质点组动力学方程出发对等式两端左面矢乘得到：诸内力成对出现，量值相等，方向相反，并在同一直线上，所以对定点O的力矩之和为零。又故上式可写成：等式左端用表示，等于诸质点的动量对定点O动量矩的矢量和。等式右端用表示，等于诸外力对同一定点O的力矩的矢量和。这样上式可简写为：质点组对任一固定点的动量矩对时间的微商，等于诸外力对同一点的力矩的矢量和，这种关系叫做质点组的动量矩定理。2.3.2动量矩守恒定律如果所有作用在质点组上的外力对某一固定点O的合力矩为零，由动量矩定理可得：

6、＝恒矢量质点组不受外力作用时，或虽受外力作用，但这些力对某定点的力矩的矢量和为零，则对此定点而言，质点组的动量矩为一恒矢量，这个关系称作质点组动量矩守恒定律。2.3.3对质心的动量矩定理假定由n个质点组成的质点组，各质点的质量是m1，m2，…mn，位于P1，P2…Pn诸点，这些点对于某一指定的参照点O的位矢是，对质心C的位矢为，而质心C对O的位矢则为。选取一原点在质心上随质心平动的动坐标系。则由非惯性动力学，质点组中任一点的动力学方程为：等式右端最后一项为惯性力，应当作外力看待。将等式两端左面矢乘，并对i求和，则内力矩仍互相抵消，可得：因C为质心，故，上式最终简化为：将用表示，代表质

7、点组对质心的动量矩。将用表示，代表所有外力对质心的动量矩之和。则上式简化为：即质点组对质心的动量矩对时间的微商等于所有外力对质心的力矩之和，这就是质点组对质心的动量矩定理。可见，在质心坐标系中，内力矩与惯性力矩互相抵消。跟对固定点的动量矩定理形式相同，只多一撇号。例一：p152－2.11在光滑的水平桌面上，有质量各为的两个质点，用一不可伸长的绳紧直相连，绳长为。设其中一质点受到一个与绳正交的冲量的作用，求证此后两质点将各作圆滚线运动，且其能量之比为，式中为