奇异协方差阵及不同借贷利率下均值-方差模型的解析解

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1、第２４卷第２期运筹与管理Ｖｏｌ．２４，Ｎｏ．２２０１５年４月ＯＰＥＲＡＴＩＯＮＳＲＥＳＥＡＲＣＨＡＮＤＭＡＮＡＧＥＭＥＮＴＳＣＩＥＮＣＥＡｐｒ．２０１５奇异协方差阵及不同借贷利率下均值—方差模型的解析解１２蒋春福，彭泓毅（１．深圳大学数学与计算科学学院，广东深圳５１８０６０；２．华南农业大学理学院，广东广州５１０６４２）摘要：随着金融资产种类的增加，特别是考虑大规模投资组合问题时，很可能出现资产间的多重共线性或相关性，从而出现协方差阵奇异的情况。然而，目前关于投资组合的均值—方差分析大都是在协方差阵正定

2、的条件下得到的，因此，不适用于奇异协方差阵的情形。针对这一问题，利用广义逆矩阵研究了协方差阵奇异时的均值—方差投资组合模型，在不同借贷利率条件下得到了前沿组合和组合前沿的解析解，突破了传统方法中要求协方差阵可逆的限制，推广了经典Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ模型。关键词：金融工程；证券组合；Ｍｏｏｒｅ-Ｐｅｎｒｏｓｅ广义逆；不同借贷利率中图分类号：Ｆ２２４；Ｏ２１２文章标识码：Ａ文章编号：１００７-３２２１（２０１５）０２-０１９２-０９AnalyticSolutionsofMean-VarianceModelwi

3、thSingularCovarianceMatrixandDifferentInterestRatesforBorrowingandLending１２ＪＩＡＮＧＣｈｕｎ-ｆｕ，ＰＥＮＧＨｏｎｇ-ｙｉ（１．CollegeofMathematicsandComputationalScience，ShenzhenUniversity，Shenzhen５１８０６０，China；２．CollegeofScience，SouthChinaAgriculturalUniversity，Guangzhou５１０６４２，

4、China）Abstract：Ｉｎｔｈｅｍｅａｎ-ｖａｒｉａｎｃｅｐｏｒｔｆｏｌｉｏｍｏｄｅｌ，ｔｈｅｃｏｖａｒｉａｎｃｅｍａｔｒｉｘｉｓｌｉｋｅｌｙｔｏｂｅｓｉｎｇｕｌａｒｓｉｎｃｅｔｈｅｍｕｌｔｉ-ｃｏｌｌｉｎｅａｒｉｔｙａｎｄｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｃａｎａｒｉｓｅｆｒｏｍｔｈｅｉｎｃｒｅａｓｅｏｆｆｉｎａｎｃｉａｌａｓｓｅｔｓ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙｗｈｅｎｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇａｌａｒｇｅ-ｓｃａｌｅｐｏｒｔｆｏｌｉｏ．Ｉｎｖｉｅｗｏｆｔｈｉｓｓｉｔｕａｔｉｏｎ，ｗｅｒｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｍｅ

5、ａｎ-ｖａｒｉａｎｃｅｐｏｒｔｆｏｌｉｏｐｒｏｂｌｅｍｕｎｄｅｒｓｉｎｇｕｌａｒｃｏｖａｒｉａｎｃｅｍａｔｒｉｘ．Ａｎｅｗａｐｐｒｏａｃｈｂａｓｅｄｏｎｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｎｖｅｒｓｅｍａｔｒｉｘｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄａｓａｒｅｍｅｄｙｆｏｒｔｈｅｄｅｆｉｃｉｅｎ-ｃｙｏｆｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄｓｉｎｗｈｉｃｈｃｏｖａｒｉａｎｃｅｍａｔｒｉｘｉｓｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｔｏｂｅｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ．Ｔｈｅａｎａｌｙｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｆｒｏｎｔｉｅｒｐｏｒｔｆｏｌｉｏａｎｄｐｏｒｔ

6、ｆｏｌｉｏｆｒｏｎｔｉｅｒａｒｅｄｅｒｉｖｅｄｗｉｔｈｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｓｆｏｒｂｏｒｒｏｗｉｎｇａｎｄｌｅｎｄｉｎｇ，ｗｈｉｃｈｅｘｔｅｎｄｉｎｇｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙｔｈｅｃｌａｓｓｉｃＭａｒｋｏｗｉｔｚｐｏｒｔｆｏｌｉｏｍｏｄｅｌ．Keywords：ｆｉｎａｎｃｉａｌｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ；ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ；ｍｏｏｒｅ-ｐｅｎｒｏｓｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｎｖｅｒｓｅ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｓｆｏｒｂｏｒｒｏｗｉｎｇａｎｄｌｅｎｄｉｎｇ０引言对于Ｍ

7、ａｒｋｏｗｉｔｚ问题的研究，以往的文献大都假定协方差阵为正定，但是随着资产种类的增加和金融衍生产品的大量涌现，这时很可能出现多重共线性和相关性，从而出现协方差阵奇异的情况．此外，当考虑［１］［２］大规模投资组合时，也会出现这样的问题，比如最近Ｆａｎ的研究．Ｂｕｓｅｒ最先研究奇异协方差阵下的投［３］资组合问题，通过技术性地构造两个新的基金得到此时两基金定理仍然成立，Ｒｙａｎ和Ｌｅｆｏｌｌ指出文献［４］［２］中的两基金定理的证明过程存在错误，并做了纠．Ｓｚｅｇ迸曾猜想当协方差阵的秩小于n－１时证券市［５］场

8、要么存在套利，要么存在有效子集．此外，还有Ｖ迸Ｒ迸Ｓ研究了一些具有特殊协方差结构的投资组合问［６］题，Ｋｏｒｋｉ和Ｔｕｒｔｌｅ则是考虑了证券数量趋于无穷大时的极限问题．［７］我国学者史树中和杨杰指出协方差阵奇异时有可能存在有效子集，还给出了判定证券子集是否为收稿日期：２０１１-０５-２１基金项目：国家自然科学基金资助项目（７１１０１０９５）；广东省自然科学基金资助项目（２００８２７６）作者简介：蒋春福（１９７７-），男，湖南永州人，博士，副