矩阵与数值分析公式总结

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1、绝对误差:a=±10*xQ.a}a2…q相对误差:第一章Z吕如”，则称a为x的具有n位有效数字的近似值x—a如果a有n位有效数字，则

2、/'（6f）

3、

4、x-6Z近似相对误差界为；喘复侧I-N元函数误差界:向量范数:1范数啊二£氏1/=12范数:二maxx.GO

5、X2p范数嗣广伦时F

6、曲（列和范数）J/=1IK=^Eh，j（行和范数）戶1九（o（谱范数）Ki=XE应/=1；=1Jm几■.azz闷/=!y=l谱半径：p（A）=max

7、打（A的最大特

8、征值）第二章正规矩阵：AhA=AAA〃是A的共辘转置。常见的Hermite阵（/"=/）、实对称矩阵（AT=A斜Hermite阵（屮=一/）、实反对称矩阵（力丁=一力）、酉阵（AHA=AAH=I）和正交矩阵（力7力=//7=/）等均为正规矩阵.正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。A的特征值全为正。正交矩阵：=AAr=EA'1=At正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。奇异矩阵：对应的行列式等于0的方阵。1、矩阵的LU分解或Doolittle分解对于阶方阵力，如果存在〃阶单位下三角矩阵乙和〃阶上三角矩阵"，使得a=lu，则称其为矩阵/的£17分解，也称为.Gauss消

9、去法对应的矩阵形式即为分解，其中厶为所有行乘子组成的单位下三角矩阵，“为Gauss消去法结束后得到的上三角矩阵.原方程组^=b分解为两个三角形方程[Ly=b组仏二2、矩阵£1/分解的的存在和唯一性（各阶顺序主子式均不为零）如果/?阶矩阵力的各阶顺序主子式Dr仗=1,2,…/）均不为零，则必有单位下三角矩阵£和上三角矩阵使得A=LU，而且厶和U是唯一存在的.3、矩阵的Cholesky分解或平方根法（正定矩阵）对任意斤阶对称正定矩阵/,均存在下三角矩阵£使A=LlJ,称其为对称正定矩阵A的Cholesky分解.进一步地，如果规定£的对角元为正数，则£是唯一确定的.原方程组Ax=b分解为Ly=b

10、两个三角形方程组/.Lx=y利用矩阵乘法规则和厶的下三角结构可得ljj=ajj-工耳，lij=°ij一工likljkMjj，戸,2,.・」.IR=1丿*=1丿=V^ll1=。21a~TI=鱼31/勺1<22=J。22_£]1_。32一‘31‘21<32_；lnn.由于ljk<^aT,心因此在分解过程中乙的元素的数量级不会增长，故平方根法通常是数值稳定的，不必选主元.4、设/为非奇异矩阵，

11、

12、・

13、

14、为矩阵的算子范数，称cond(/l)=p

15、

16、

17、

18、A-,

19、

20、为矩阵/的条件数。条件数越计算次序为厶I丿21，A1丿22丿32'人2'人，矩阵和方程组越为病态，反Z越小为良态。8-条件数:coi

21、ul'/)=AILII1-条件数:cond

22、(/)=PlljP_lA~l2-条件数®"

23、

24、观

25、

26、代彳册1)cond(y4)>12)cond(/4)=cond(/4_1)3)cond(6r^)=cond(/1),6rGR,qhO4)cond2(<7)=15)cond2(LC4)=cond2(/lL/)=cond2(/i)5、矩阵的QR分解利用正交变换保条件数的性质，将满秩矩阵化为主对角元都大于零的上三角矩阵，保持矩阵条件数不变.设A是n阶可逆实矩阵，则存在正交阵Q和对角元都大于零的上三角阵R,使得A=QR,称其为矩阵A的QR分解，并且eond2(^)=cond2(^)2TH(co)=I—coc

27、oflnHouseholder矩阵①①，其中69GK心工。.该矩阵具有如下性质:(1)2丁A(H(a)))=l-一久(血/)特征值为：必即,2T1z：—COCO—-1COCOX~7_Z”一1个(2)T7/(血)=H(co)f即h阵为对称阵;(3)(4)如果H(e)x=y,则叽二2(不变长度,镜面反射);H((o)TH(a))=Inf即円阵为正交阵;(5)设x=(x1,x2,---,^z?)tgR"H(a))x=H(x-制冷)x=(6)6、Schur分解的一些特殊情况如下:上三角矩阵R为正规矩阵当且仅当R为对角矩阵.“阶方阵A为正规矩阵当且仅当存在酉阵U使得力=UDUh，。为〃阶对角阵。n阶方

28、阵A为Hermite阵当且仅当存在酉阵£/使得/=UDUH，。为“阶实对角阵。“阶方阵力为斜Hermite阵当且仅当存在酉阵U使得A=UDUHtD为纯虚对角阵。n阶方阵/为酉阵当且仅当存在酉阵〃使得A=UDUHfD为〃阶对角阵，且对角元的模均为lo7、Jordan分解(1)根的重数称为代数重数；n-rank(2,/-^)称为儿何重数。(2)代数重数为阶数，也就是对角线上特征值的个数；几何重数是块数。(3)/屮