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1、数列一、数列的基本知识点(-)等差数列(1)等差数列｛①｝的定义：如果一个数列从笫二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义的表达式为an+l-cin=d(nwN")(2)等差数列的通项公式:an=+(/?-l)d=am+(n-m)d；(3)｛kan｝也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.(5)®+勺+…+am,am+l+am+{+…+a2m,a2m+i+a2m+[+・・・+a3m…仍成等差数列.(6)—也严Si+咛2
2、Sn=~n+(®(7)若加+/?=〃+g,贝'Jam+an=ap+ciq:若m=(8)“首正”的递减等差数列中，前卅项和的最大值是所有非负项之和；(9)等差中项：若成等差数列，则人=乜叫做a"的等差中项。2(10)判定数列是否是等差数列的主要方法有：①定义法：^z?+1-an=d(常数)<=>｛^｝是等差数列.②屮项公式法：2勺+严色+勺+2(心矿)0｛色｝是等差数列.③通项公式法：an=pn+q｛p,q为常数)<=>｛an｝是等差数列.④前n项和公式法：Sn=An2-^Bn｛A,B为常数)<=>｛色｝是等差数列.(二)等比数
3、列(1)等比数列他｝的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做筹比数列，这个常数叫做筹比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为—=q(neN')（2）等比数列的通项公式：色=axqn-｝=amcCm；（3）｛
4、%
5、｝、｛kan｝成等比数列；｛%｝、｛$｝成等比数列=＞｛匕血｝成等比数列.（4）两等比数列对应项枳（商）纽成的新数列仍成等比数列.(5)Q]+。2+•••+/“，务+务+1+…+%”_1，…成等比数列.(6)na}S“=6、(l-g")-q-q(g=l
7、)na{(q=1)8工1厂-宀/+宀SHI)，1-q1-q(7)p+q=m+n^>hf)-bf=bm-bn；2m=p+q^bj=bf)•bqS,n+n=Sm+qmSn=S”+qnS,n.（8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前料项积的最人值是所有大于或等于1的项的积;“首小于1”的正值递增等比数列中，前料项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；（9）并非任何两数总有等比中项.仅当实数a"同号吋，实数存在等比中项.对同号两实数a#的等比中项不仅存在，而且有一对G=土廡.也就是说，两实数要么没有等比中项（非同号时），如果有，必有
8、一对（同号时）。（10）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、屮项法、通项法、和式法①定义法：也二q（q是不为零的常数，”wN*）o｛a〃｝是等比数列.②中项公式法：afl+l2=an-an+2｛an工0,〃eNJo｛%｝是等比数列.③通项公式法：5=呵2内均是不为零的常数，咗矿）0｛%｝是等比数列.④前/?项和公式法：S”=丄/—d=kqn-k{k=上」是常数，JLgh0旳工1)o{an}是等比数列.q_lq-q-l注：等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列乂是等比数列（三）、根据数列的通项公式判
9、定数列的单调性（1）已知0”=/仇），若于（兀）的单调性可以确定,则｛%｝的单调性可以确定(1)比较法①作差比较法>递增mwN*,%]-色=0二>｛陽｝为常数列。<递减②对各项同号的数列，可用作商比较法>递增皿矿,％〉0,畑=ln｛a”｝为常数列。U，i<递减>递减心矿,色vO,纽=1=>｛%｝为常数列。色<递增二.求数列的通项公式的常用方法两种类型：由数列的前若干项求数列的通项公式；已知数列的递推公式，求该数列的通项公式1•观察与归纳法：先观察哪些因索随项数"的变化而变化，哪些因索不变：分析符号、数字、字母与项数〃在变化过程
10、中的联系，初步归纳公式。例1.写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数:⑴**叫315356399(3)1,0,—,0,—,0,—,0,…;357(5)1,3,6,10,15,…；191733(2)-1,--—,3356399(4)7,77,777,7777,・・•；(6)a,b,a,b,…。解析：(1)这是一个分数数列，分子为偶数列，而分母为1x3,3x5,5x7,7x9,9x11,…,是两个连续奇数的积，故所求数列通项公式为：an=(2n-l)(2n+1)3SQ1733(2)数列的前5项可改写为：一丄,丄厂亠
11、，丄L厂—亠1x33x55x77x99x11由于数列的各项间正负互相I'可隔，应有调节符号作川的数列｛(-l)n｝,分子构成规律为2n+l,分母也为两个连续奇数的积。an=(-l)n————(2n-l)(2n+1)(1)原数列直接写不能看出通项公式，但改写之后，分母依次为1,
