放缩法在数列求和中的基本策略（精）

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1、“放缩法”在数列求和中的基本策放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项Z和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。所谓放缩的技巧：即欲证AO,A+t>A,A-t/n>Vn4-Vn-l,7n+l-1>Vn-1,n(n-1)n-11-—(n>l),2(Vn4-1-Vn)n11二1=1w^/n(n+1

2、)>=n(n>0),nn+1n(n+1)n2[—iv厂-厂=~j=<2(Vn-Vn-1).vn+vn+1vn+Vnvn1+丄+丄+•••+2!3!若1,11—<1+-+—+n!2221…+戸1+丄+丄+..・+丄<1+(1—丄)+(丄一丄)+•••+(—_丄)=2-丄2232n2223n-1nn丄+丄+・••+—丄n4-1n+22nn+1+丄+…+丄=亠vln+1n+1n+1丄+丄+•••+丄'n+1n+22n111n1—-j——.•・,.~~,-~~—2n2n2n2n21+A+A+…+A宀〒a/2V3VnVnVn11nf—41—产=—^==vnvnVn竺竺v11vo

3、注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若A>B,B〉C,C>D,则A〉D。2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较人的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。1、添加或舍弃一些正项（或负项）n1a.a.a./“、23勺色+1证明：・・・5=务+1_2A-1_11_11、111_2A+,-l_22(23—1)—23.2*+2*-2一232k'一'，…宀例1、已知色=2"—求证:5〉—丄-23222，丄<鱼+《+.••+竺23色+12若多项式屮加上一些正的值，多项式的值变

4、人，多项式屮加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性，达到证明的冃的。木题在放缩时就舍去了2"-2,从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f(x)=■——1+*求证:/(1)4/(2)+…廿(7?)-(77G/V*).2证明：由心）二上1=1・^^〉1一一—1+4〃1+4"2・2"+•・・+]2・2"得f(1)寸(2)+・・・4/S)>1一一+1一一!-2-212-221Z1111、11z=n——(1+—+—+•••+)=n+(heN)・1

5、2心2"+25丄+例3(1999年湖南省理16)求证：2n+1n+22n111111n1++n++==—9证明：因为n+ln+2n+nn+nn+nn+nn+n2又111111n,n+ln+2n+nnnnn所以原不等式成立。1H1例4求证：1x21x2x3Ix2x3x…xn证明：因为左边G+丄+丄+•••+1x22x3占十（T）+G弓理弓+…+—+—+——+•••+—vl(nwN)例5求证2!3!4!n!1111——=<=,证明：因为k!Ix2x3x…xkIx2x2x…x22k1所以左边1112+22+231n-l此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征，先将分了

6、变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使具屮之•变为常量,分式的放缩対于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即叭如需缩小，贝帜要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例6、己知an=n,求证：£<3.n、kn证明：E牛工亠<1+刀I

7、Lk"a；㈠丽"寸伙一1）心+1）fl1+工k=2血_i）伙+i）]火+1))证明•火！2)•.1+I~2~+-h+…+罷<1+I2+■1+•…221I12n■1=1_—Q1<3-4—□2n■1n=i

8、+£k=2帚祜T<2+t<3-例7、求证屮+抽卄・y<3木题观察数列的构成规律，采川通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。例8求证证明••丄匕]__1丄•«2、K伙-1）—R-lk•••1+（古+”••+》）<1+±+（开9+（計9+・・・+（古-+）=1+古+（D<4本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达冃标.4、放大或缩小“因式”；I口1例8、已知数列血｝满足^+1=^,0<^<-,求证：为（务一％1）务+2v石.Z*=1'厶1+2证明T0vd]5—,a”+]=——,。3——***•••当P—1