高等数学研究教案1

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1、高数一数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象授课题目第一讲求极限的各种方法课时数4教学目的通过教学使学生掌握求极限的各种方法，垂点掌握用等价无穷小屋代换求极限；用罗必塔法则求极限；用对数恒等式求lim/Cx)^极限；利用Taylor公式求极限；数列极限转化成函数极限求解重占八、、难占八、、1.用等价无穷小量代换求极限2.用罗必塔法则求极限3.用对数恒等式求hmf(xy(x)极限4.利用Taylor公式求极限5.数列极限转化成函数极限求解教学提纲第一讲求极限的各种方法1.约去零因子求极限2.分子分母同除求极限3.分子(母)有理化求极限4.应用

2、两个重要极限求极限5.用等价无穷小量代换求极限6.用罗必塔法则求极限7.用对数恒等式求lim/(x)?(v)极限8.数列极限转化成函数极限求解9.n项和数列极限问题10.单调有界数列的极限问题教学过程与内容教学后记第一讲求极限的各种方法求极限是历年考试的重点，过去数学一经常考填空题或选择题，但近年两次作为大题出现，说明极限作为微积分的基础，地位有所加强。数学二、三一般以大题的形式出现。用等价无穷小量代换求极限，用对数恒等式求lim/（x）Hx）极限是重点，及时分离极限式中的非零因子是解题的重要技巧。1.约去零因子求极限AY—1例1：求极限lin

3、TXTlX-1【说明】表明兀与1无限接近，但XH1,所以兀一1这一零因子可以约去。【解】lim-1)(%+*=Iim(x+l)(x2+1)=6JVT1兀—]XT12.分子分母同除求极限x3_x2例2：求极限lim「e3x3+1【说明】竺型且分了分母都以多项式给出的极限，可通过分了分母同除来求。00%3—x~1_丄]【解】lim、-limA-z3x'+l宀3+斗3X【评注】（1）一般分子分母同除兀的最髙次方；0m>nClXn+Cl+•••+(2)lim—=

4、2+1)【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】mJ宀321）一怙（厶+3-J兀+1）（厶+3+厶+1）2=lim=0AJLJLJLA//VZ兀2+].tnIT7niI.・Vl+tanx-Vl+sinx例4：求极限lim£•—()x3【解】limx->0V1+tanx-71+sinx例5：求极限lim、+1、jX—l丿tanx-sinx=hm/:/xt°x3Vl+tanx-Vl+sinx「1「tanx-sinx1“tanx-sinx1=lim/—lim=—lim=—“to71+tanx+Vl+sinx心°厂25厂4【注】木

5、题除了使用分了有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键4.应用两个重要极限求极限QinY11丄两个重要极限是lim巴匕=1和lim(l+-)v=lim(l+-)H=lim(l+x”=—第一a—>0兀x—»oo%/?—»oox—>0个重要极限过于简单且可通过等价无穷小來实现。主要考第二个重要极限。【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出】，再凑+9最超指数部分。lim1+XT+8,【解】limXT+oo1+zr2丿例6：(1)lim1-X>+O01]矿丿X；(2)已知limx+2aX5.用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常

6、见等价无穷小有：当xT0时，兀〜sinx〜tanx〜arcsinx~arctanx〜ln(l+x)〜ex-1,1-cosx〜—x2,(l4-ax}'-1〜abx；⑵等价无穷小量代换,只能代换极限式屮的因式;••limSmVA=lim二=0是不止确的xtotanxgo%⑶此方法在各种求极限的方法屮应作为首选。例7：求极限limXln(1+%)=2()1-COSX.vxln(l+x)vx-x小【解】lim——=lim-—=2•1-cosx”T()12—X2■例8：求极限limSmVXo()tanx••!12i■i.sinx-x..sinx-x..c

7、osx-1..--kx1[解】lim；——=lim；——=lim==lim—=——心°tan3xgox32()心°3厂6sinx一sin(sinx)]sinx例9：求极限lim—门——.jox4.小、“(sinx一sinsinx)sinx“sinx-sinsinx[解]limz——=limx->0兀“.r->0兀'卄cosxd-cos(sinx))“sin(sinx)cosx=lim；=limA~>02Y2x->03x2,.cosx一cos(sinx)cosxlimx->06x3x2lim=—go6x6sinx6.用罗必塔法则求极限i“「丄""

8、Incos2x-ln(l+sin2x)例10：求极限limxtO【说明】炸或紳的极限，可通过罗必塔法则来求。sin2x—八“Incos2x-ln(l+