有限单元法 第2章 杆系结构的有限元分析

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1、第2章杆系结构的有限元分析2.1概述所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。在有限单元法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。为方便起见，本书都称之为杆单元。杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常见的一类结构。本章以此类结构为基础介绍有限单元法的分析过程。第一步，对结构物进行离散化，划分为有限个单元。第二步，对各结点和单元进行编码。第三步，建立整体坐标系和各单元的局部坐标系。第四步，对已知参数进行准备和整理。第五步，对结点位移进行编码，注意前处理法与后处

2、理法的区别。第六步，进行单元分析，形成单元刚度矩阵。第七步，进行整体分析，形成整体刚度矩阵。第八步，引入边界条件。边界条件的引入可以使问题具有解的唯一性。第九步，求解方程组，计算结构的整体结点位移。第十步，求单元内力，对计算成果进行整理、分析，用表格、图示出所需的位移及应力。图2.1弯曲杆件系统图2.2截面连续变化杆件系统图2.3单元位移编码前处理法后处理法2.2局部坐标系中的杆单元分析2.2.1拉压杆单元图2.4拉压杆单元示意图设杆单元长度为，横截面面积为，单元材料的弹性模量为，在局部坐标系中杆端荷载分别为和，杆端位移分别为和，单元上的轴向分布荷载为。①单元位移模式。

3、用结点位移表示单元上任意截面的位移。对拉压杆单元，可以取其位移为一次多项式，即：由位移的边界条件：可得系数、为：这样，任意截面的位移为：用矩阵表示为：其中（2-1）（2-2）②进行应力、应变分析。根据材料力学中应变的定义，有：这里为应变矩阵。由虎克定律，其应力为：（2-4）（2-3）③求单元刚度矩阵。这里考虑利用虚位移原理求单元刚度矩阵，设杆端i、j分别产生虚位移、，则由此引起的杆轴任意截面的虚位移为：对应的虚应变为：根据虚位移原理虚功方程，有：将上式整理得：（2-5）（2-6）式中：为局部坐标系下单元结点荷载矩阵。设：则可以得到拉压杆单元的单元刚度方程为：这里为局部坐

4、标系下的单元刚度矩阵，为局部坐标系下等效结点荷载矩阵，但值得指出的是：分布荷载中可以包含集中荷载。根据定义，可以进一步求得单元刚度矩阵为：（2-10）（2-7）（2-8）（2-9）2.2.2扭转杆单元图2.4扭转杆单元示意图设扭转杆单元的长度为，截面惯性矩为，剪切模量为，杆端扭矩分别为、，杆端扭转角分别为、，单元上的分布荷载集度为，则任意截面的扭转角为：式中：为局部坐标系下扭转杆单元的结点位移矩阵。由材料力学可知，截面扭矩为：式中：我们利用极小势能原理来进行单元分析，杆单元的势能用泛函表示为：这里为局部坐标系下扭转杆单元的结点荷载矩阵。由极小势能原理，取上述泛函的变分，

5、可得：或者写为：设：可得扭转杆单元的单元刚度方程为：可以看到，其形式与拉压杆单元的单元刚度方程完全一致。同样，由上式可以进一步求得其局部坐标系下得单元刚度矩阵为：2.2.3只计弯曲的杆单元设杆单元的长度为，截面惯性矩为，弹性模量为，杆端剪力为、，杆端弯矩分别为、，杆端横向位移为、，杆端扭转角分别为、，在单元上分布有荷载集度为的竖向分布荷载和集度为的分布力偶。则结点位移矩阵和结点荷载矩阵分别为：取挠曲线方程为的三次多项式，即单元上任意一点的挠度为：根据单元的位移边界条件：时：，时：，可以得到式中的待定系数：将系数a、b、c、d代入式，并将挠曲线方程用矩阵形式表示为：式中为

6、形函数矩阵，其中：为平面弯曲单元的形函数。根据式（2-19）确定的单元位移场，可得单元上某一点得曲率为：截面的弯矩为：这里：为平面弯曲杆单元的应变矩阵。根据虚位移原理。有：则平面弯曲杆单元的单元刚度方程为：其中的单元刚度矩阵可由式（2-23）求得为：记：（2-23）2.2.4平面一般杆单元杆单元的长度为，截面面积为，截面惯性矩为，弹性模量为，单元的、端各有三个力为、、和、、，其对应的位移为、、和、、，建立如图2.7所示的局部坐标系，各物理量的正向如图中所标。则结点位移矩阵和结点荷载矩阵分别为：设单元上没有荷载作用，首先考虑轴向力的作用，由于杆端轴力、只引起杆端轴向位移、

7、，根据拉压杆单元的单元刚度方程，有：其次，杆端弯矩、和杆端剪力、只与杆端的转角位移、和杆端的横向位移、有关系，根据只计弯曲杆单元的单元刚度方程（注意，由于不考虑单元上的荷载作用，故方程式中的等效结点荷载等于零）可得：这样，上述表达式合并在一起，写成矩阵形式如下：可以将上式简写为：2.2.5空间杆单元设局部坐标系的轴为单元的形心主轴，横截面的两个主轴分别为轴和轴（如图所示）。设杆横截面面积为，杆单元长度为，在平面内抗弯刚度为，在平面内的抗弯刚度为，杆件的抗扭刚度为。空间刚架有6个位移分量和6个结点力分量，设局部坐标系下它们分别为：2.2.6