3+杆系结构静力分析的有限单元法

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1、3.1结构离散与向量表示第三章杆系结构静力分析的有限单元法3.2位移函数及单元的刚度矩阵3.3坐标变换及单元刚度矩阵3.4整体刚度矩阵3.5约束处理及求解3.6计算示例3.7ANSYS桁架结构计算示例3.8ANSYS刚架结构计算示例3.1结构离散与向量表示工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等可以归结为杆系结构。杆系结构按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构。杆系结构可以由杆单元、梁单元组成。(a)Liebherr塔式起重机(b)Liebherr履带式起重机(c)钢结构桥梁(d)埃菲尔铁塔图3-1杆

2、系结构第三章杆系结构静力分析的有限单元法3.1.1结构离散化由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散化比较简单，一般将杆件或者杆件的一段(一根杆又分为几个单元)作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点称为结点。杆系结构的离散化的要点可参考如下：a.杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。这些结点都是根据结构本身特点来确定的。b.结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元。变换为作用在结点上的等效结点载荷。第三章杆系结构静力分析的有限单元法c.变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点处的截面近似作为该单元的截面，各

3、单元仍按等截面杆进行计算。d.对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折线为一个单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点。e.在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其第三章杆系结构静力分析的有限单元法(a)结点载荷处理方式(b)等效结点载荷处理方式图3-2杆系结构离散化示意图3.1.2坐标系图3-3坐标系示意图为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。第三章杆系结构静力分析的有限单元法3.1.3向量表示在有限单元法中力学向量的规定

4、为：当线位移及相应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标轴方向的分量。刚架结构示意图(b)结点位移和结点力分向量图3-4平面刚架分析示意图第三章杆系结构静力分析的有限单元法结点位移列向量为单元e结点位移列向量为结点力向量为单元e结点力列向量为第三章杆系结构静力分析的有限单元法3.2位移函数及单元的刚度矩阵3.2.1轴向拉压杆单元的位移的函数有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真

5、实结构的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算精度及解的收敛性。为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下列要求:a.单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。第三章杆系结构静力分析的有限单元法由单元结点位移，确定待定系数项当时，当时，所以用结点位移表示其中、分别表示当，时；，时的单元内的轴向位移状态，故称为轴向位移形函数。第三章杆系结构静力分析的有限单元法b.单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。c.单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移协调性。3

6、.2.2梁单元平面弯曲的位移函数梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分量，，，，由材料力学知,各截面的转角:故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定系数，，，的多项式单元结点位移条件当时，当时，第三章杆系结构静力分析的有限单元法称为形函数矩阵。第三章杆系结构静力分析的有限单元法3.2.3单元的应力应变在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分组成，即轴向应变与弯曲应变之和，其轴向应变与平面桁架轴向应变相同。轴向应变为弯曲应变为y为梁单元任意截面上任意点至中性轴(x轴)的距离。得出平面刚架单元应变图3-5弯曲应变计算示意图则——平面刚

7、架梁单元的应变转换矩阵。第三章杆系结构静力分析的有限单元法3.2.4平面刚架梁单元的刚度矩阵梁单元的i，j结点发生虚位移为单元内相应的虚应变应为由虚功原理有由于结点虚位移的任意性，故上式可写成上式称为局部坐标下的平面刚架单元的刚度方程，简称为单刚。第三章杆系结构静力分析的有限单元法横截面积A横截面对形心轴z的静矩S横截面对主惯性轴z的惯性矩I得到四个33子块所组成的局部坐标系下的平面刚架梁单元的单元刚度矩阵。第三章杆系结构静力分析的有限单元法平面桁架的单元刚度矩阵为空间桁架单元每个结点有3个位移分量，其单元结点位移