图形变换的矩阵方法

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1、第6章　图形变换一般来说，图形从输入到输出贯串着各种变换。被描述的对象所处的环境和显示屏幕的环境是很不同的，不仅位置不同，大多数情况下，尺寸也很不相同。这就要求协调二者的关系。此外，三维的图形要在二维的图纸或屏幕上表示出来要通过投影变换。为了从不同的方向去观察对象，要求能对对象作旋转变换，放大缩小和平移变换更是经常要用的。本章学习实现上述功能的算法。1计算机产生图形的过程大致可分为三步：图形输入图形处理图形输出计算机对图形数据进行处理，就是图形变换。2图形变换---就是要变换图形的几何关系(即改变顶点坐标

2、),同时保持图形的原拓扑关系不变.构成图形的基本要素是点X1y1X2y2……Xnyn点的变换：旧点（集）×变换矩阵新点（集）X1y1z1X2y2z2………Xnynzn3图形变换几何变换投影变换(又称坐标变换:它是将点集的坐标变换达到改变位置、形状)线框图的变换——通常以点变换为基础，把图形的顶点作一系列的几何变换后，连接新的顶点系列即可产生新的图形。用参数方程描述的图形的变换——通过参数方程作几何变换实现。我们在这只讨论图形拓扑关系不变的几何变换。重点讨论线框图的变换。4几何变换基本变换组合变换：上述变换

3、的连续实施投影变换正投影变换斜投影变换中心变换：三面正投影图、轴测图：斜轴测图变位变换变形变换：旋转、镜像、：比例、错切周分布、阵列、：透视图由于显示器和绘图机只能用二维空间来表示图形，要显示三维图形就要用投影方式来降低其维数。51.二维平面上点的表示法改变顶点坐标,也就是对向量的变换,向量运算必须用矩阵运算来实现。2.图形变换的矩阵表示一对坐标(x,y)一个向量[xy]设:点P(x,y)点P’(x’,y’)其数学表达方法矩阵表达方法变换后的位置矢量矩阵变换矩阵位置矢量矩阵4.1　二维图形变换6就是将图形

4、放大或缩小的变换方法。变换式为：x’=Sx*xy’=Sy*y讨论：Sx,Sy>01.Sx＝Sy＝1，点的位置、图形形状不变，又称恒等变换2.Sx＝Sy>1，点的位置变了、图形放大了Sy倍。3.Sx＝Sy<1，点的位置变了、图形缩小了Sy倍。图形变化：原有图形放大或缩小的变换参数值：主对角线上元素至少有一个不为1，次对角线上元素全为0。xOy(x,y)(x',y')Sx＝1,Sy>14.SxSy，图形产生了畸形图形沿两个坐标轴方向作非均匀比例变换。4.1.1　比例变换7xOy(x,y)(-x,y)(-x,

5、-y)(x,-y)xOyy=x(x',y')(x,y)xOy=-x(x,y)(x',y')y4.1.2　对称变换82.关于y轴的对称变换3.关于45度平分线的对称变换4.关于-45度平分线的对称变换5.关于坐标原点的对称变换1.关于x轴的对称变换9沿x轴方向的错切变换沿y轴方向的错切变换1.沿X轴方向的错切变换4.1.3　错切变换(1)变换过程中,点的y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化;(2)平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴;(3)平行于Y轴的线段变换后错切成与Y轴成角的直线段(4)X轴上的点在变换

6、过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。（2）沿Y轴方向错切（1）沿X轴方向错切(x,y)(x',y')(x,y)(x',y')10(1)变换过程中,点的x坐标保持不变,而y坐标值发生线性变化;(2)平行于Y轴的线段变换后仍平行于Y轴;(3)平行于X轴的线段变换后错切成与X轴成角的直线段(4)Y轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。2.沿Y轴方向的错切变换11其矩阵表示法：4.1.4　绕坐标原点的旋转变换12变换过程为：x’=x＋ly’=y+m变换矩阵为如变换矩阵改为：则点

7、的坐标（x,y)（x,y,1)P’=P*T==xO(x,y)(x',y')y4.1.5　平移变换13它是用一个n+1维向量表示一个n维向量的方法如：二维点[xy]用[XYH]表示如：空间点[xyz]用[XYZH]表示正常化齐次坐标怎样由齐次坐标求正常化齐次坐标?H可以任意选取,齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系。如二维平面上的一点[3,4],用齐次坐标表示为[3,4,1][6,8,2][1.5,2,0.5]通常将H=1的齐次坐标称为x=X/Hy=Y/Hz=Z/H能将上述的所有变换统一用一个矩阵描述4.1

8、.6　齐次坐标与变换通式14比例、反射、旋转、错切投影变换平移总体比例变换4.1.7　二维图形变换矩阵的一般形式二维图形变换矩阵的通式T:15(1)复合平移(2)复合比例组合变换:由多个基本变换的连续实施而成的复杂变换,又称基本变换的级连.4.1.8　二维组合变换16(3)复合旋转17先平移,再旋转先旋转,再平移级联的顺序不同,最终的图形不同由于矩阵乘法不满足交换率,(4)级联顺序对组合变换的影响183.将图形从原点平移到p(