高中数学浅谈函数与方程思想学法指导

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1、高中数学浅谈函数与方程思想通过函数的学习，同学们对函数概念及其相关的性质有了一•定的认识，但在解题时，常常对问题的解决感到束手无策，其中一个重要的原因就是函数与方程思想还没有形成。一、什么是函数与方程思想函数与方程是两个不同的概念，但它们ZI'可有着密切的联系。若一•个函数有解析衣达式，那么这个表达式就可看作一个方程，这样许多函数问题可以用方程的方法来解决。也就是说，对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=O；反之，也可以把函数式y=f(x)看作二元方程y-f(x)=O。函数与方程这种相互转化的关系十分重

2、耍，它们Z间互相渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决，很多函数问题也需要方程的知识和方法的支援，函数与方程Z间的辩证关系，形成了函数与方程思想，函数与方程思想就是用函数、方程的观点和方法來处理变量与未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想方法。二、函数与方程思想在解题中的应用1.利用函数与方程思想研究方程问题有关方程根的问题是考查方程的知识热点，也是考查函数与方程思想的一个重点。例1已知mx2+x+1=0有且只有一根在区间(0,1)内，求m的取值范围。分析：设f(x)=mx2+x+1o

3、由二分法知,一般地对于函数f(x),若f(a)・f(b)v0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)±至少冇一个零点，但不一定唯一。对于二次函数f(x),若f(a).f(b)<0,则在区间(a,b)±存在唯一的零点，一•次函数有同样的结论成立。但要注意,方程f(x)=0在区间(a,b)上有且只有一根时,不仅是f(a)・f(b)<0,也有可能f(a)・f(b)=0,如二次函数图象是下图所示的情形。由图可知f(x)=0在区间(a,b)上有且只有一根，但是f(a).f(b)=0o解:设f(x)=mx2+x+1。%1当m=0时方程

4、的根为-1,不满足题设条件。%1当mHO吋，因mx2+x+l=0有且只有一-根在区间(0,1)内，且f(0)=l>0,所以有两种可能情形：f(l)<0,得mv-2；或者f(l)=0,得m=-2,代入原方程不合题意。综上可得mv-2o点评：木题通过构造函数，将方程问题转化为函数思想去解决，二分法实质上是函数与方程思、想的一个重要体现，因此，学习中应对二分法的意义领会清楚。2.利用函数与方程思想研究不等式问题“等”与“不等”是数学中两种不同的数量关系，是和对的。在学习屮，我们力求寻求统一的思想，这就是函数与方程思想，特别是在

5、解不等式问题中，应重视以函数为桥梁,根据实际问题建立函数观念，用函数思想与函数方法分析、解决问题。例2设不等式2x-1>m(x-1),对满足-2SmS2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围。分析：由于本题为二元一•次不等式，许多同学対题意无法正确理解，从而解题的思路受阻。若将其看成关于x的不等式讨论，则解题过程烦琐；若将问题升华到函数与方程思想的应用上，就易于解决。解：问题可转化成关于m的一次不等式(x-l)m-(2x-l)<0,当-25mS2时恒成立。设f(m)=(x-l)m-(2x一1)。3解得x〉7.f⑵vO,

6、f(x-l).2-(2x-l)<0,(-2)v0l(x-l)-(-2)-(2x-l)<0・・.x的取值范围是g，*。点评：由于常见的思维定势，上述问题易看成关于X的不等式讨论。这里变换一个角度，构造以m为变量的一次函数，使得函数值在情况下恒小于零，可以说思维突破常规，解法灵活简洁，从而体现函数方程思、想的功能。1.利用函数与方程思想研究函数问题函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题木身的数量木质特征和制约关系的一种动态刻画，函数与方程思想的实质是提取问题的数学特征，实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的冃的。例3已知

7、函数f(x)=x2+2bx+c(c0o(2)若m是方程f(x)+l=0的一个实根,判断f(m-4)的正负，并加以证明。分析：(1)中涉及不等关系c-—>c,22解得-3vcv-丄o3由于方程f(

8、x)+l=O有实根，即x2+2bx+c+l=0有实根，故4=4b?—4(c+l)n0,(c+1)2-4(c+l)>0,解得c»3或cS—l。/•—3vc5—1o由b=-凹，得bno。2(2)由f(x)=x2+2bx+c=x2一(c+l)x+c=(x-c)(x-l),所以方程f(x)=0的两根为Xj=c(c<-l),x