高中数学函数与方程的思想探析

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1、高中数学函数与方程的思想探析高中数学函数与方程的思想探析　　一、知识内容　　1.函数的思想　　就是利用函数的图像和性质分析问题，通常将一些方程、不等式的问题转化为函数的问题。具体体现有求方程的根的问题、不等式恒成立的问题，特别是一些超越方程或超越不等式中，巧用函数的思想，会使问题迎刃而解。　　2.方程的思想　　就是把函数构造成方程，利用方程进一步研究方程的思想。具体体现有求函数的值域的问题、解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系问题，都可利用解二元方程组来巧妙解决。　　二、典例分析　　1.（题型1）构造函数，

2、并利用函数的图像和性质来解决有关问题　　例1若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，求x1+x2的值。　　分析：方程2x+2x=5与方程2x+2log2（x-1）=5都是超越方程，其中方程的根都是不能直接求解，所以应找到两个方程之间的联系，转化为函数的思想来解答。　　解：由2x+2x=52x=5-2x2x-1=-x（1）　　2x+2log2（x-1）=52log2（x-1）=5-2xlog2（x-1）=-x（2）　　由（1）式知x1可以看做函数y=2x-1与函数y=-x的产生的交

3、点A的横坐标；　　由（2）式知x2可以看做函数y=log2（x-1）与函数y=-x产生的交点B的横坐标。　　而y=2x-1与y=log2（x-1）分别由y=2x与y=logx同时向右平移一个单位得到y=2x与y=logx函数图像关于y=x对称，即y=2x-1与log2（x-1）函数图像关于y=x-1直线对称。因为y=x-1与y=-x互相垂直，其交点C坐标为（，），同时A、B两点关于C点对称，所以x1+x2=2=。　　点评：本例由已知本文由论文联盟.L.cOm收集整理方程构成函数，巧用指对函数图像的对称性来

4、巧妙地解决问题。　　变式：设a，b∈R且（a-1）3+2002（a-1）=-1，（b-1）3+2002（b-1）=1，求a+b的值。　　分析：观察已知条件中结构形式，构造函数f（x）=x3+2002x，有f（a-1）=-f（b-1），知y=f（x）为奇函数且y=f（x）在R递增的，f（a-1）=f（1-b）a-1=1-ba+b=2。　　例2设不等式2x-1>m（x2-1）对满足的一切实数恒成立，求实数的取值范围。　　分析：不等式f（x）≥g（x）恒成立，往往都是构造F（x）=f（x）

5、-g（x），往求F（x）min，使得F（x）min≥0，即可达到解决问题的目的。若构造二次函数F（x）=2x-1-m（x2-1），m∈[-2，2]，往求F（x）min，利用分类讨论思想较为复杂化，若变换以m为主元，x为辅元，即一次函数F（m）=（x2-1）m-（2x-1），-2≤m≤2，往求F（m）max，即可使得F（m）max<0。　　只要f（-2）<0f（2）<0-2（x2-1）-（2x-1）<02（x2-1）-（2x-1）<0<X<

6、;，　　∴实数x的取值范围为（，）。　　点评：本例将不等式恒成立问题构造函数，利用函数的性质巧妙解决问题。　　2.（题型2）建立方程，利用方程的思想解决有关问题　　例3如果函数y=的最大值是4，最小值是-1，求实数的值。　　分析：函数y=的定义域为R，值域为-1≤y≤4，由y=转化为yx2-ax+y-b=0关于x的一元二次方程有实数根，使用到别式。　　解：y=定义域为Ryx2-ax+y-b=0有实数根（-a）2-4y（y-b）≥04y2-4by-a2≤0。　　∵-1&

7、le;y≤4，∴4y2-4by-a2-=0产生有两根-1，4。　　∴-1+4=-1+4=a=±4b=3。　　点评：本例巧妙地将函数问题转化成方程根的问题解决问题。　　例4已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a>0，a≠1）。　　（1）当a>1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）单调递增。　　（2）若函数y=f（x）-t-1有三个零点，求的值。　　分析：函数y=f（x）-t-1有三个零点转化方程f（x）-t-1=0有三个根，再

8、转化成f（x）=t±1方程有三个根，再转化成函数y=f（x）与函数y==t±1有三个交点，利用函数与方程思想相互转化。　　解：（1）f'（x）=axlna+2x-lna=（ax-1）lna+2x。　　∵x>0，a>1，∴ax>1，ax-1>0，lna>0，2x>0。　　∴（ax-1）lna+2x>0，即f'（x）>0。&th