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1、高中数学函数与方程的思想探析高中数学函数与方程的思想探析一、知识内容1.函数的思想就是利用函数的图像和性质分析问题，通常将一些方程、不等式的问题转化为函数的问题。具体体现冇求方程的根的问题、不等式恒成立的问题，特别是一些超越方程或超越不等式中，巧用断数的思想，会使问题迎刃而解。2.方程的思想就是把函数构造成方程，利用方程进一步研究方程的思想。具体体现冇求函数的值域的问题、解析几何屮肓线与圆锥曲线的位置关系问题，都可利用解二元方程组来巧妙解决。二、典例分析1.(题型1)构造两数，并利用函数的图像和性质來解决有关问题例1若xl满足2x+2x=5,x2满
2、足2x+21og2(x-1)=5,求xl+x2的值。分析：方程2x+2x=5与方程2x+21og2(x-1)=5都是超越方程，其中方程的根都是不能肓接求解，所以应找到两个方程之间的联系，转化为函数的思想来解答。解：由2x+2x=52x=5・2x2x・l=・x…(1)2x+21og2(x-1)=521og2(x-1)=5-2xlog2(x-1)=-x…(2)由(1)式知xl可以看做函数y=2x-l与函数y=-x的产生的交点A的横坐标；由(2)式知x2可以看做函数y=log2(x-1)与函数y=・x产生的交点B的横坐标。if
3、ljy=2x-l与y=log2(x-1)分别由y=2x与y=logx同时向右平移—个单位得到y=2x与y=logx函数图像关于y=x对称，即y=2x-l与log2(x-1)函数图像关于y=x-l直线对称。因为y=x・l与y=・x互相垂直，其交点C坐标为(,),同时A、B两点关于C点对称，所以x1+x2=2×=o毕业论文点评：本例由已知本文由毕业收集整理方程构成函数，巧用指对函数图像的对称性来巧妙地解决问题。变式：设a,b∈R且(a-1)3+2002(a-1)=-l,(b-1)3+2002(b-1)=1,求a+b的值。分析：观察
4、已知条件中结构形式，构造函数f(x)=x3+2002x,有f(a-1)=-f(b-1),知y二f(x)为奇函数且y二f(x)在R递增的,f(a-1)=f(1-b)a-l=l-ba+b=2«例2设不等式2x-l>m(x2-l)对满足的一切实数恒成立，求实数的取值范围。分析：不等式f(x)≥g(x)恒成立，往往都是构造F(x)=f(x)-g(x),往求F(x)min,使得F(x)min≥0,即可达到解决问题的目的。若构造二次函数F(x)=2x-l-m(x2-l),m∈[・2,2],往求F(x)min,利用分类讨论思想较为复杂
5、化,若变换以m为主元，x为辅元，即一次函数F(m)=(x2-l)m-(2x-l),-2≤m≤2,往求F(m)max,即可使得F(m)max<0o只要f(-2)<0f(2)<0-2(x2-l)・(2x-l)<02(x2-l)・(2x-I)<0<X<,∴实数x的取值范围为(，)。点评：木例将不等式恒成立问题构造函数，利用函数的性质巧妙解决问题。1.(题型2)建立方程，利用方程的思想解决有关问题作文/zuowen/例3如果函数丫=的最大值是4,最小值是・1,求实数的值。分析：函数y二的定
6、义域为R,值域为≤y≤4,由y=转化为yx2-ax+y-b=0关于x的一元二次方程有实数根，使用到别式。解：丫=定义域为Ryx2-ax+y-b=0有实数根(-a)2-4y(y-b)≥04y2-4by-a2≤0。T・l≤y≤4,∴4y2-4by-a2-=0产生有两根・1,4。∴-l+4=-l+4=a=±4b=3。点评：木例巧妙地将函数问题转化成方程根的问题解决问题。例4已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>O,a≠1)o(1)当a>l吋，求证：函数f
7、(x)在(0,+∞)单调递增。(2)若函数y=f(x)-t-1有三个零点，求的值。分析：函数y=f(x)-t-1有三个零点转化方程f(x)-t-l=0有三个根，再转化成f(x)=t±l方程有三个根，再转化成函数y=f(x)与函数y==t±l有三个交点，利用函数与方程思想相互转化。解：(1)V(x)=axlna+2x-lna=(ax-1)lna+2xoTx>O,a>l,∴ax>l,ax・l>O,lna>O,2x>O。∴(ax-1)lna+2x>
8、;O,即f'(x)>O©∴y=f(x)在(0,+∞)是单调递增的。毕业论文(2)函数y=f
