浅谈倒奇函数和倒偶函数-化工

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1、浅谈倒奇函数和倒偶函数■化工浅谈倒奇函数和倒偶函数李磊(安徽理工大学化学工程学院，安徽淮南232001)I——dx【摘要】由皿的积分得到启发，依据倒代换、积分函数理论得到一类与奇偶函数性质极为相似形如F(x)=F(1/x)或F(・x)二・F(1/x)的一类函数。该函数不同于奇偶函数之处是，不像奇偶函数那样具有严格的对称性，但经过倒代换函数数值上却有对称性，有方便解决互为倒数区间的走积分的用途。关键词奇偶；倒代换；积分函数；互为倒数区间1定义形如F(x)二F(1/x)或F(x)二・F(1/x)的函数叫做倒偶函数和倒奇函数。若F(x)二F(l/x)则F(x)为倒偶函数；若F(x)=-

2、F(l/x)则称F(x)为倒奇函数。2在初等函数中倒置函数的常见例子F(x)=C,F(x)=logax分别为倒偶函数和倒奇函数。证明：F(x)=C,F(1/x)=C・・F(x)=C为倒偶函数F(x)=logax二logaxF(1/x)=-logax=-F(x)/.F(x)二logax为倒奇函数。而F(x)=ax,xn,sinx,cosx,tanx,arcsinx,arctanx者E不是倒置函数。3倒置函数的一般表示及其证明disc1?r(n-/l；>>F(丄)二fdjtr=证：…』术)"何/(町-伯［丄$++力'+

3、为倒谓頤

4、数、那么必然会有•/(讪+;XST：*.1/(宁肘⑴=—i山=竺lih.r^Mzl「伫匕・丄X［化比33若几0出丄〉为倒奇函数■那么曲—34'k?-*7-r^/<-

5、-)70>•r—：1：—-y"——T，十(丁)T'「八「-/f丁)广八"叭〒山移“与：2」!丄*-Xa(•/&)』+〔A!:心=04由上述证明,不难得岀倒偶函数的写袪可归结为:卜"口(网占)d工=0.®8:F(al=fl屮“丄)胡丄)曲丄W(0=F(.t>AX2k(x)=f<2-)M«Mk的写袪可口结为：F(x)=f(x)-«^>(x.l=-F(x)4函数与奇偶函数的对比4.1奇偶函数与倒置函数的写法偶函数必满足F(

6、-X)二F(x),倒偶函数必满足F(x)二F(l/x)奇函数必满足F(-x)=-F(x)r倒奇函数必满足F(x)=-F(l/x)4.2倒偶函数的特殊极值点与偶函数的特殊极值点的比较倒偶函数的写法由上述推导可得出F(x)=f(x)+f(1/x)对F(x)求导求导可得F*(x)=f*(x)-l/x2f'(1/x)・・・F'(1)=f*(1)-f*(1)=0・・.x"必为驻点。那么x二：[是否为极值点呢？x二1必为极值点。证明：F'(l)二f'(1+)-f*(l-)rfuF*(1・)=f*(1-)-f*(l+)=-f'(l+)-f*(1-)=-F*(1)由此可见F*(x)和F*(1/x

7、)必异号。・・・0在1)和(1,1-)±F1(x)的正负号发生了变化，故而得F(l)必为极大值或极小值，进而得x二1必为极值点。而F(x)为偶函数则可写成F(x)二f(x)+f(-x)进而有F1(x)=f'(x)-f1(-x)/.F1(0)=f1(0)-f'(0)=0故而x=0必为驻点。F*(0+)=f*(0+)-f1(0J而F*(0-)=f1(0-)-f'(0+)=-(f1(0+)・f'(0-)),由此可见由此可见1(0+)和F[0-)必异号。AO在(-,0)和(0,)上F'(x)的正负号发生了变化，故而得F(0)必为极大值或极小值，进而得x=l必为极值点。4.3积分证明奇偶性

8、与积分证明正负倒置性的比较F(X匸I(t)dt♦€若f(x)为奇函数姻F(兀叱、为偶函数J证明:则F(x匸I令u二t得F(x)=打5应用当f（工）H.ji二360（）时.-2x36（X）-2xn越大吊谕度越甩3600X2x36（X上720（）..力匚不可枳但这冲形式为翁x・/（x）-y（丄）—dt=0当/（寓）=3^71=36001：■136001MODXjiix-X*——13歸（歸蝴网3600・•.当/（!）=€»,sinx,cofiA时，积分不可积■但在件』梓S；间上积分结果为零。6应用拓展厶w（p）若仃>（）w6>0,rxab■別——（心0J・tK/"Tf'"丄）-

9、H

10、—举例:（1-4J）=36，如】c=l2令八皿幽茁二吉JXrxX12则I_—心•，4X由上述探讨知，倒奇函数和倒偶函数有着与奇偶函数性质上极为相似的地方。在教材上以及在其他书上很少见到，但这类函数却十分普遍。用途上十分少见但确实对一些互为倒数区间上的定积分起到作用。参考文献［1］朱白•对称区间上奇偶函数的走积分性质的推广［J］.和田师范专科学校学报:汉文综合版2008,51（2）:188-188.［2］同济大学应用数学系.高等数学［M］.5版.北京:高等教育岀版社,2002.［3