向量的数量积课件(苏教版必修4)

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1、向量的数量积第一课时情境创设问题1向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种运算的结果又是什么呢？问题2物理中有没有其它的向量运算呢？学生活动问题3物理学中，物体所受力为F，在力的方向上产生的位移是S时，力对物体所做的功是多少？问题4如图，当力F和位移S存在一个夹角θ时，力对物体所做的功是多少？FSθ意义建构问题5从求功的运算中，能否抽象出某种数学运算？问题6在向量数量积的定义中，提到了“两个向量的夹角”这一概念，那么如何定义两个向量的夹角呢？向量a与b的夹角练习1请同学们指出下列图中两个向量、（或）的

2、夹角．向量a与b的夹角的取值范围特别地，当向量a与b的夹角为0°时，这两个向量同向；当向量a与b的夹角为180°时，这两个向量反向；当向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．问题7零向量与其他向量有没有数量积？应如何定义？规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0a＝0．数学理论向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量

3、a

4、

5、b

6、cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab＝

7、a

8、

9、b

10、cosθ．同时规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0a

11、＝0．练习2判断下列结论是否正确：（1）若a＝0，则对任意非零向量b，都有ab＝0；（2）若a≠0，则对任意非零向量b，都有ab≠0；（3）若b≠0，ab＝bc，则a＝c；（4）若ab＜0，则向量a与b的夹角为钝角；（5）若a，b均为非零向量，且ab＝

12、a

13、

14、b

15、，则a∥b．问题8向量的数量积有什么性质？当a与b同向时，ab＝

16、a

17、

18、b

19、；当a与b反向时，a·b＝－

20、a

21、

22、b

23、．特别地，当b＝a，有a·a

24、a

25、2，或

26、a

27、．（记a·a＝a2）问题9向量的数量积有什么样的运算性质？已知向量

28、a、b、c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：（1）a·bb·a（交换律）；（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）（对数乘运算的结合律）；（3）（a＋b）·c=a·c＋b·c（分配律）．数学运用例1已知向量a与b的夹角为，

29、a

30、＝4，

31、b

32、＝3，分别在下列条件下求ab：(1)＝45º；(2)＝90º；(3)＝120º．例2已知正△ABC的边长为2，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求ab，bc．练习31．已知

33、a

34、＝4，

35、b

36、＝3，分别在下列条件下求ab：(1)a⊥b；(2)

37、a∥b．2．试利用向量数量积的运算律证明：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．向量的数量积第二课时复习回顾1．平面向量的夹角2．平面向量的数量积已知两个非零向量a，b，在平面上任取一点作a，b，则θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角．已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量

38、a

39、

40、b

41、叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=

42、a

43、

44、b

45、．3．向量的数量积的性质4．向量的数量积的运算律已知向量a、b、c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：(1)a·b=b·a(交换律)；(2)(

46、λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；(3)(a＋b)·c=a·c＋b·c．向量的数量积运算不满足结合律．数学运用例3求证：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．例4已知

47、a

48、＝6，

49、b

50、＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)．例5已知

51、a

52、=3，

53、b

54、=4(且a与b不共线)，当且仅当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？例6设x，y轴正方向上的单位向量分别为和，若a＋b=2i－8j，a－b=－8i＋16j，求a·b．例7设和是夹

55、角为的两个单位向量，且，，试求的值．向量的数量积第三课时问题情境问题1若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用向量a，b的坐标来表示它们的数量积a·b？数学理论两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b=x1x2+y1y2．数学运用例9设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，求m的值．例10已知a＋b＝（2，－8），a－b＝（－8，16），求a·b及向量a与b的夹角θ的余弦值．课堂练习1．设(5，-7)，(-6，-4)，求a·b，及a与b的夹角

56、．2．已知a＝(4,－2)，b＝(6,－1)，求：(1)a·b；（2）(2a－b)(a＋2b)；(3)

57、2a－3b

58、．向量的数量积第四课时复习回顾1．平面向量数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2.2．向量垂直的等价结论设(x1，y1)，(x2，y2)，则．3．向量模的坐标计算设a＝(x，y)，则

59、a

60、2＝x2+y2，或

61、a

62、＝．数学运用例11已知a＝（1，－2），b＝（1，y），若向量a，b的夹角为锐角，