高中数学 向量的数量积教案 苏教版必修4

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1、2.4向量的数量积（1）一、课题：向量的数量积（1）二、教学目标：1．理解平面向量数量积的概念；2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围；3．掌握两向量共线及垂直的充要条件；4．掌握向量数量积的性质。三、教学重、难点：向量数量积及其重要性质。四、教学过程：（一）引入：物理课中，物体所做的功的计算方法：（图1）（其中是与的夹角）．（二）新课讲解：1．向量的夹角：已知两个向量和（如图2），作，，则（图2）（）叫做向量与的夹角。当时，与同向；当时，与反向；当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量

2、积（或内积），记作，即．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；③规定，零向量与任一向量的数量积是．3．数量积的几何意义：（1）投影的概念：如图，，，过点作垂直于直线，垂足为，则．叫做向量在方向上的投影，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是一负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是．（2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。【练习】：①已知，，与的夹角，则；②已知，在上的投影是，则8；③已知，，，则与的夹

3、角．（3）数量积的性质：设、都是非零向量，是与的夹角，则①；②当与同向时，；当与反向时，；特别地：或；③；④；若是与方向相同的单位向量，则⑤．4．例题分析：例1已知正的边长为，设，，，求．解：如图，与、与、与夹角为，∴原式．例2已知，，，且，求．解：作，，∵，∴，∵且，∴中，，∴，∴，，所以，．五、课后练习：补充：1．若非零向量与满足，则0．六、课堂小结：1．向量数量积的概念；2．向量数量积的几何意义；3．向量数量积的性质。七、作业：2.4向量的数量积（2）一、课题：向量数量积（2）二、教学目标：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示

4、的充要条件。三、教学重、难点：1．平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式；2．向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。四、教学过程：（一）复习：1．两平面向量垂直的充要条件；2．两向量共线的坐标表示；3．轴上单位向量，轴上单位向量，则：，，．（二）新课讲解：1．向量数量积的坐标表示：设，则，∴.从而得向量数量积的坐标表示公式：．2．长度、夹角、垂直的坐标表示：①长度：Þ；②两点间的距离公式：若，则；③夹角：；④垂直的充要条件：∵，即（注意与向量共线的坐标表示的区别）3．例题分析：例1设，求．解：．例2已知，求证是直角三角形。证明：∵

5、，∴∴所以，是直角三角形。说明：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。例3如图，以原点和为顶点作等腰直角，使，求点和向量的坐标。AOBBB解：设，则，，∵，∴，即：，又∵，∴，即：，由或，∴，或，．例4在中，，，求值。解：当时，，∴∴，当时，，，∴∴，当时，，∴∴．五、课堂练习课本练习1，2．六、小结：两向量数量积的坐标表示：长度、夹角、垂直的坐标表示。七、作业：课本习题5.7第１，4，5题。补充：已知，，（1）求证：（2）若与的模相等，且，求的值。2.4向量的数量积（3）一、课题：向量的数量积二、教学目标：要求学生掌握平面

6、向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。三、教学重、难点：向量数量积的运算律和运算律的理解；四、教学过程：（一）复习：1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质；2．判断下列各题正确与否：①若，则对任一向量，有；(√)②若，则对任一非零向量，有；(×)③若，，则；(×)④若，则至少有一个为零向量；(×)⑤若，则当且仅当时成立；(×)⑥对任意向量，有．(√)（二）新课讲解：1．交换律：证：设夹角为，则，∴．2．证：若，，，，若，，，．qq1q2ABOA1B1C3．．在平面内取一点，作,，，∵（即）在方向上的投影等于在方向上的投影和，即：∴，∴即：

7、．4．例题分析：例1已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。解：由题意可得：Þ①Þ②两式相减得：，代入①或②得：，设的夹角为，则∴，即与的夹角为．例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。ABDC证明：如图：ABCD，，，，∴，而，∴，所以，+==．例3为非零向量，当的模取最小值时，①求的值；②求证：与垂直。解：①，∴当时,最小；②∵，∴与垂直。例4如图，是的三条高，求证：相交于一点。ABCDEFH证：设交于一点，,则∵∴得，即，∴，又∵点在的延长线上，∴相交于一点。五、小结：数量积的运算律和垂直充要条件的应用。六、作业：课本习题5.

8、6第2，4题。补充：1．向量的模分别为，的夹角为，求的模；2．设是