高中数学 《2.4.1.1 向量的数量积》教案2 苏教版必修4

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1、第十课时平面向量的数量积及运算律(二)教学目标：掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用.教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习向量数量积的定义，并一起由定义推证了5个重要性质，并得到了三个运算律，首先我们对上述内容作一简要回顾.这一节，我们通过例题分析使大家进一步熟悉数量积的定义、性质、运算律，并掌握它们的应用.Ⅱ.讲授新课［例1］已知：｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60

2、°时，分别求a·b.分析：由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出a·b.解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角＝0°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×(－1)＝－18；②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0；③当a与b的夹角是60°时，有a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6×＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能.［例2］已知a、b都是非零

3、向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.分析：要求a与b的夹角，只要求出a·b与｜a｜，｜b｜即可.解：由已知(a＋3b)⊥(7a－5b)(a＋3b)·(7a－5b)＝07a2＋16a·b－15b2＝0①又(a－4b)⊥(7a－2b)(a－4b)·(7a－2b)＝07a2－30a·b＋8b2＝0②①－②得：46a·b＝23b2即有a·b＝b2＝｜b｜2，将它代入①可得：7｜a｜2＋8｜b｜2－15｜b｜2＝0即｜a｜2＝｜b｜2有｜a｜＝｜b｜∴若记a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝又θ∈［0°，180°］，∴θ＝60°所以a与b的夹角为60°.［例3］四

4、边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2即｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝｜c｜2＋2c·d＋｜d｜2由于a·b＝c·d，∴｜a｜2＋｜b｜2＝｜c｜2＋｜d｜2①同理有｜a｜2＋｜d｜2＝｜c｜2＋｜b｜2②由①②可得｜a｜＝｜c｜，且｜b｜＝｜d｜即四边形ABCD两组对边分别相等.∴四边形ABCD是平行四边形另一方面，由a·b＝b·c

5、，有b·(a－c)＝0，而由平行四边形ABCD可得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形.评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a＋b＋c＋d＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.［例4］已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－3，求｜a＋b｜，｜a－b｜.解：∵｜a＋b｜2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×(－3)＋52＝23∴｜a＋b｜＝，∵(｜a－b｜)2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝22－

6、2×(－3)＋52＝35，∴｜a－b｜＝.［例5］已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ.解：∵(｜a＋b｜)2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝｜a｜2＋2｜a｜｜b｜cosθ＋｜b｜2∴162＝82＋2×8×10cosθ＋102，∴cosθ＝，∴θ≈55°［例6］在△ABC中，＝a，＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定分析：此题主要考查两向量夹角的概念，应避免由a·b＝｜a｜｜b｜cosB＜0得cosB＜0，进而得B为钝角，从而错选C.解：由两向量夹角的概念，a与b的夹角应是180°－B∵a·b＝｜

7、a｜｜b｜cos(180°－B)＝－｜a｜｜b｜cosB＜0∴cosB＞0又因为B∈(0°，180°)所以B为锐角.又由于角B不一定最大，故三角形形状无法判定.所以应选D.［例7］设e1、e2是夹角为45°的两个单位向量，且a＝e1＋2e2，b＝2e1＋e2，试求：｜a＋b｜的值.分析：此题主要考查学生对单位向量的正确认识.解：∵a＋b＝(e1＋2e2)＋(2e1＋e2)＝3(e1＋e2)，∴｜a＋b｜＝｜3