高中数学 2.4 向量的数量积教案2 苏教版必修4.doc

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1、第2课时　数量积的坐标表示(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的数量积的坐标表示．(2)掌握用数量积表示线段长及两向量垂直的条件．(3)会用平面向量数量积的坐标表示解决具体问题．2．过程与方法通过学习数量积的坐标运算与度量公式，提高分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)用坐标表示向量，体现了代数与几何的完美结合，说明事物可以相互联系与转化．(2)用向量的坐标反映向量的数量积，为研究数量积开创了一个新天地．通过学习本节，使学生感受到同一事物的不同表示形式不会改变其本质规律．说明事物的变化形式是丰富多彩的，激发学生热爱科学的高尚情怀．●重点难点重点：用向量的

2、坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角，会判断两向量间的垂直关系．难点：运用向量法与坐标法解决有关问题．(教师用书独具)●教学建议1．关于向量数量积的坐标运算的教学教学时，建议教师从向量的坐标概念出发，类比数的乘法运算，由学生自主推导出数量积的运算，并就数量积的坐标形式同向量加减及数乘运算的坐标加以比较，在熟悉的同时，记忆并熟练应用．2．关于向量的模、夹角及垂直关系的教学教学时，建议教师让学生结合数量积的定义及性质，完成对向量的模、夹角及垂直关系的坐标运算的推导，并通过题组训练，以便让学生熟练应用，为下节——向量的应用奠定基础．●教学流程⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒课标解读1.理解平面向量数量积的坐标表示

3、，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角．(重点)2.会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系．3.增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识．(难点)平面向量数量积的坐标表示【问题导思】　　i，j分别是x轴、y轴上的单位向量，a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，如何求a·b?【提示】　a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.　若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.长度、夹角、垂直的坐标表示　(1)向量的

4、模：设a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，即

5、a

6、＝.(2)向量的夹角公式：设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cosθ＝＝.特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0，反之亦成立．数量积的坐标运算　已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)·b，求

7、c

8、.【思路探究】　由已知条件求出c的坐标，再根据公式

9、c

10、＝求解．【自主解答】　∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－(a·b)·b＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(2＋6,4－12)＝(8，－8)，∴

11、c

12、＝＝8

13、.1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：

14、a

15、2＝a·a.(a＋b)(a－b)＝

16、a

17、2－

18、b

19、2.(a＋b)2＝

20、a

21、2＋2a·b＋

22、b

23、2.2．利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解．　已知向量a＝(1,2)，b＝(3,4)，求a·b，(a－b)·(2a＋3b)．【解】　法一　∵a＝(1,2)，b＝(3,4)，∴a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11，(a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2

24、

25、a

26、2＋a·b－3

27、b

28、2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.法二　∵a＝(1,2)，b＝(3,4)，∴a·b＝11，∵a－b＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)，2a＋3b＝2(1,2)＋3(3,4)＝(2×1＋3×3,2×2＋3×4)＝(11,16)，∴(a－b)·(2a＋3b)＝(－2，－2)·(11,16)＝－2×11＋(－2)×16＝－54.向量垂直的坐标表示的应用　已知a＝(－，)，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.【思路探究】　题目中给出了向量a的坐标，而欲求的向量b满足：＝a－b，＝a＋b且三角形AOB且以O为直角顶

29、点的等腰直角三角形，则可先设出b＝(x，y)，由⊥，列出方程组求出向量b.【自主解答】　法一　设向量b＝(x，y)，则＝a－b＝(－－x，－y)，＝a＋b＝(－＋x，＋y)，由题意可知，·＝0，

30、

31、＝

32、

33、，从而有：解得或所以b＝(，)或b＝(－，－)．法二　设向量b＝(x，y)，依题意，·＝0，

34、

35、＝

36、

37、，则(a－b)·(a＋b)＝0，

38、a－b

39、＝

40、a＋b

41、，所以

42、a

43、＝

44、b

45、＝1，a·b＝0.所以向量b是与