向量共线及轴上向量的运算

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1、2.1.5向量共线的条件和轴上向量的坐标运算一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)

2、λa

3、=

4、λ

5、

6、a

7、(2)当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0温故知新数乘向量的含义向量共线的条件：平行向量基本定理：向量b与非零向量a共线当且仅当有且只有一个实数λ，使得b=λa例1.如图MN是⊿ABC的中位线,求证:MN=BC且MN//BC证明:M,N分别是AB,AC的中点∴MN//BC,MN=BCMN=AN-AM=AC-

8、AB∴AM=AB,AN=AC=(AC-AB)=BCABCNM例2.已知:a=3e,b=-2e.试问a与b是否平行?并求

9、a

10、:

11、b

12、练习.如图：已知AD=3AB，DE=3BC，试证明A、C、E三点共线．ABDEC解：AE=AD+DE=3AB+3BC=3(AB+BC)=3AC∴AE//AC∴A、E、C三点共线练习.设a，b是两个不共线的向量，已知AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a-b)，求证：A，B，D三点共线。证明：∵BD=BC+CD=(2a+8b)+3(a-b)=5a+5b=5(a+b)=5AB∴BD//AB，又它们有公共点B，∴A

13、，B，D三点共线如果给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于１的向量，叫向量a的单位向量．a的单位向量记作a０，则a与a０的关系是a＝︱a︱a０a0=a︱a︱轴上向量的坐标及其运算：１.规定了方向和长度单位的直线叫轴Le2.轴上向量的坐标及其运算a=xe(1)取与轴同向的单位向量e,则对轴上的任意向量a,一定存在唯一实数x,使(2)反过来，任意给定一个实数x总能作一个向量长度等于这个实数的绝对值，方向与实数的符号一致a=xe所以给定单位向量e，则与它平行的所有向量的集合为：﹛a︱,x∈R﹜a=xe(3)单位向量e，叫轴的基向量，x叫a在轴上的坐标

14、leABCD3-2-6BC在轴上的坐标是CD在轴上的坐标是例如:AB=3e,CD=-2e.则AB在轴上的坐标是(4)轴上两向量相等的条件是它们的坐标相等轴上两向量和的坐标等于它们的坐标和x1=x2a+b则a=b设a=x1e,b=x2e=(x1+x2)e(5)轴上的向量ＡＢ的坐标常用ＡＢ表示即:ＡＢ=ＡＢe(6)若A.B.C是轴上的三点,则AB+BC=AC(7)若点Ａ的坐标是x1点,Ｂ的坐标x2是则AB=x2-x1即轴上的向量坐标等于终点的坐标减去始点的坐标轴上两点的距离︱AB︱=︱x2-x1︱例3.已知数轴上三点A、B、C的坐标分别是4、-2、-

15、6，求AB、BC、CA的坐标和长度练习1、设e1，e2是两个不共线向量，已知AB=2e1+re2，CB=e1+3e2，若A，B，C三点共线，求r的值.2.设a，b是两个不共线的向量，试确定实数k,使ka+b和a+kb共线课堂小结平行向量基本定理：向量b与非零向量a共线当且仅当有且只有一个实数λ，使得b=λa轴上向量的坐标及其运算：AB=x2-x1轴上两点的距离︱AB︱=︱x2-x1︱