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《大学数学概率统计非参数假设检验》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§7.4非参数假设检验分布拟合优度检验概率图纸法χ2-拟合优度检验柯尔莫洛夫-斯米尔诺夫检验7-4-1概率图纸法1.正态概率图纸的构造原理设总体ξ有分布函数F(x)，{N(μ,2)}表示正态颁布族，需要检验假设（7-4-1）在原假设H0为真时，通过中心化变换即而函数u(x)是x的线性函数，在(x,u(x))直角坐标平面上是一条直线，这条直线过点(μ,0)，且斜率为1/图7-1在平面上直接标出(xi,Fi)，我们以横轴上的刻度表示x;在纵轴上先刻出u的刻度（均匀），而后根据u的值，从正态N(0,1)分布表中查出对应的分布
2、函数值φ(u)，刻在u的位置上，然后把u的刻度抹去，留下x与F(%)的刻度就构成一张正态概率图纸。-3-2-101μ23443210-1-2-3-4F(%)99.8797.7284.1315.872.280.13xu2.检验步骤由格里汶科定理知道子样的经验分布函数Fn(x)依概率收敛于总体分布函数F(x)。因此若为真，则点(xi,Fn(xi)),i=1,2,…,n在正态概率图纸上也应该近似地在一条直线附近。根据上述想法，用正态概率图纸检验假设H0的具体步骤如下：1）整理数据：把样本观察值按大小排列。假如n次观察值中有m个不
3、同的值，则按大小次序列入下表。观察值x(1)x(1)…x(1)频数r1r2…rmFn(x)…1由于(x(m),1)在正态概率图纸上无法标出，不少统计学家建议对Fn的值作如下两种修正：这种修正对小样本是必要的；2）描点：把点(x(k),Fn(x(k)))描在正态概率图纸上；（7-4-2）3）目测这些点的位置，若这一列点挖地在一条直线附近，我们就可以接受原假设，否则就拒绝原假设。3.未知参数μ与2的估计若通过概率图纸检验已经知道总体服从正态分布，我们就凭目测在概率图纸上画出最靠近各点(x(i),Fn(x(i))),i=1,…
4、,n的一条直线l。在概率图纸上画一条F=0.5的水平直线，这条直线与直线l的交点的横坐标x0.5就可作为参数μ的估计。其次，我们还可用x0.8413–x0.5来估计例7-4-1参见P336。7-4-2χ2–拟合检验法设总体ξ的分布函数为具有明确表达式的F(x)，我们把随机变量ξ的值域R分成k个互不相容的区间A1=[a0,a1),A2=[a1,a2),…,Ak=[ak-1,ak],这些区间不一定有相同的长度设是容量为n的样本观测值，ni为样本观测值中落入Ai的频数。则在n次试验中事件Ai出现的频率为我们现在检验原假设H0:
5、F(x)=F0(x).设在原假设H0成立下，总体ξ落入Ai的概率为pi，即此时，n个观测值中，恰有n1个观测值落入A1由，n2个观测值落入A2内，…,nk个观测值落入Ak内的概率应为这是一个多项分布。由大数定律，在H0为真时，频率ni/n与概率pi的差异不应太大。根据这个思想，Person构造了一个统计量（7-4-3）（7-4-4）定理7-4-1：当H0为真时，即为总体的真实概率时，由（8-3-4）式所定义的统计量的渐近分布是自由度为k-1的χ2-分布，即其密度函数为（7-4-5）如果原假设H0只确定总体分布的类型，而分布
6、中还含有未知参数θ，…,θm,则下面的Fisher定理解决了含未知参数情形的分布检验问题。定理7-4-2：设为总体的真实分布，其中为m个未知参数。在在中用的极大似然估计代替，并且以去估计pi得到(7-4-6)则有下面的统计量（7-4-7）例7-4-2参见P343。Personχ2拟合优度检验的步骤：1）把总体ξ的值域划分为k个互不相交的区间[ai,ai+1),i=1,…,k,其中a1,ak+1可以分别取-∞,+∞;(每个划分的区间必须包含不少于5个个体，若个体数少于5个时，则可指导这种区间并入其相邻的区间，或者把几个频数都
7、小于5，但不一定相邻的区间并成一个区间）。2）在H0成立下，用极大似然估计法估计分布所含的未知参数；3）在H0成立下，计算理论概率并且算出理论频数npi;4）按照样本观察值落在区间[ai,ai+1)中的个数，即实际频数ni,i=1,…,k计算5）按照所给出的显著性水平α，查自由度为k-m-1的χ2-分布表得6）若，则拒绝原假设H0，否则认为原假设成立。这里m是未知参数的个数；
