试论算术中的代数思维准变量表达式

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1、试论算术中的代数思维：准变量表达式徐文彬（南京师范大学教育科学学院，南京210097）［关键词］算术思维；代数思维；准变量表达式；小学数学教学［摘要］在数学教学中，小学与中学（主要是初中）的衔接问题，仅仅依赖体制上的变革根本无法解决。而在新课程标准的推进当中，由于更加强调整体性和一贯性，所以，衔接问题的解决已刻不容缓。算术中的准变量（表达式）正是解决这一问题的强有力思想。准变量表达式既动摇了算术与代数之间的传统割裂，又在算术思维与代数思维之间起到了桥梁作用。而且，它还体现了新课程标准所倡导的算法多样化之精神。准

2、变量（表达式）思想对改进义务教育阶段数学教学有着诸多切实的现实意义。口义务教育在我国全面实施以來，小学和初屮在教学体制方面的差异已越来越少；而新一轮课程改革则更是缩小了这种体制上的差异，强化了义务教育的整体性和一贯制，把九年义务教育数学课程划分成前后相互承接的三个学段：1—3年级、4—6年级和7—9年级。但是，另一方面，义务教育阶段的数学教学却很少或根本就没有体现这种整体性和一贯制。^这样，原來小学和初屮Z间的衔接问题就显得更为帝要和迫切了。否则，义务教育的这种整体性和一贯制就只能是形式的和表面的“制度文本”，

3、而非丰富和内在的教学现实。本文正是在这样一个背景下，试图运用算术屮的代数思维即“准变量表达式”來探讨算术教学与代数教学之间的一致性和整体性，也即，如何在算术教学屮培养学生的代数思维？一、算术与代数之间的割裂：传统与现实造成算术和代数这两个数学领域在学校教育中的割裂有其传统的原因。首先，算术和代数有着不同的发展历史，而且它们是各自带着不同的符号学的结构先后走进现今的学校课程的。如果耍从数学思维的角度来看，那就是，算术主耍是由程序思维（proceduralthinking）来刻画的，也即，算术程序思维的核心是获取-

4、个（正确的）答案，以及确定获取这个答案与验证这个答案是否正确的方法；而代数思维则是由关系或结构（relationorstructure）来描述的，它的日的是发现（-•般化的）关系、明确结构、并把它们联接起来。其次，算术和代数在学校教育中扮演着不同的角色和作用。算术（主耍是计算）被传统地视为义务教育必不可少的一个有机构成，而代数则被看作是那些进入中学的学生才耍学习的一个合适的数学内容，甚至代数还被看作仅仅是那些具有抽彖思维能力的屮学牛才能学习的数学内容。造成算术和代数这两个数学领域在学校教育中的割裂不仅有其传统的

5、原因，而且还有其现实的根源。众所周知，初始的代数教学都要关注以下几个问题：如何向学生介绍表达奠基于一般数学关系基础之上的数量关系？他们是如何理解和解释代数表达式的？他们又是如何“计算”奠基于相等性质基础之上的代数表达式的（其核心是恒等变形或恒等变换）？等等。另一方面，通常都认为，在小学头儿年的数学（主耍是数）的教学中，记数和读数法是其耍点与基础。而这两者之间有着本质的区别。因此，如果想要向小学牛介绍代数思维，那么肯定是勉为其难。这就是造成算术和代数这两个数学领域在学校教育中相互割裂的现实根源。那么，是不是算术与

6、代数在学校教育屮的割裂就是不可更改和动摇的呢？显然不是。因为当代的研究业己表明，这种割裂不仅具有人为性，而ri它还是造成学牛后续学习代数困难的祸首之一。前苏联教育家赞科夫就曾指出，“按照传统的教学方法行事，io以内的每一个数是单个地学习的。学习每一个数都耍花费相当多的时间，而且，数是应用在各种事物上出现的，后一个数的学习，联系前一个数。例如，3这个数被说成是2和1两个数组成的。以后的每一个数也都是这样来学习。这里似乎有着后一个数和前一个数的联系。这在某种程度上确实如此。可是，这种联系是狭窄的和片面的，因为从1到

7、10的整个数列，作为某种统一的整体，完全没有提到。”[2】这里的“作为某种统一的整体”其实质就是代数的结构观点，而“后一个数和前一个数的联系”则必定与儿童的数概念发展的“数数模式（CountingModel）”口】有关。虽然在数学教育研究者中都有这样一种明确的观念，那就是，小学生一般都认为，等号就意味着在确信相等Z前要进行计算，而且这是小学生从算术过渡到代数的障碍2—。但是，卡彭特和利维（CarpenterandLevi）却强调指出，“算术和代数之间的人为割裂不仅剥夺了学生在小学低年级思考数学的有效图式，而月.

8、这述给他们在后续学习代数时造成了更大的困难。”m另一方面，在（教学）技术的影响和作用下，代数符号和代数记号也已有了很人的改进。挑战传统学校代数地位的数字代数变量形式也正在汕现。此外，算术任务和表达式尤其是在其未完成的形式中，其本身也述保留着代数的意味。可是，这些算术中潜在的代数特性，却在无视关系思维的前提下，被只关注算术屮的程序思维所遗忘了。二、算术与代数之间的联结：准变量表达式在卡彭