用向量法证明范文

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1、用向量法证明范文　　步骤1　　记向量i使i垂直于AC于C△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c　　∴a+b+c=0　　则i(a+b+c)　　=i·a+i·b+i·c　　=a·cos(180(C90))+b·0+c·cos(90A)　　=asinC+csinA=0　　接着得到正弦定理　　其他　　步骤2.　　在锐角△ABC中设BC=a,AC=b,AB=c作CH⊥AB垂足为点H　　CH=a·sinB　　CH=b·sinA　　∴a·sinB=b·sinA　　得到a/sinA=b/sinB　　同理在△ABC中　　b/sin

2、B=c/sinC　　步骤3.　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：　　任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.　　作直径BD交⊙O于D.连接DA.　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.　　所以c/sinC=c/sinD=BD=2R　　类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助　　2　　设向量AB=a,向量AC=b向量AM=c向量BM=d,延长AM到D使AM=DM连接BD,CD,则ABCD为平行四边形　　则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a

3、平方+2ab+b平方=4c　　平方(1)　　向量ba=2d(ba)平方=4d平方a平方2ab+b平方=4d　　平方(2)　　(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方　　c平方=1/2(a+b)d平方　　AM^2=1/2(AB^2+AC^2)BM^2　　3　　已知EF是梯形ABCD的中位线且AD//BC用向量法证明梯形的中位线定理　　过A做AG‖DC交EF于P点　　由三角形中位线定理有：　　向量EP=向量BG　　又∵AD‖PF‖GC且AG‖DC∴向量PF=向量AD=向量GC(平行四边形性质)　　∴向量PF=(

4、向量AD+向量GC)　　∴向量EP+向量PF=(向量BG+向量AD+向量GC)　　∴向量EF=(向量AD+向量BC)　　∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)　　得证　　4　　先假设两条中线AD,BE交与P点　　连接CP,取AB中点F连接PF　　PA+PC=2PE=BP　　PB+PC=2PD=AP　　PA+PB=2PF　　三式相加　　2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF　　3PA+3PB+2PC=2PF　　6PF+2PC=2PF　　PC=2PF　　所以PC,PF共线PF就是中线　　所以ABC的三条中线交于一点P

5、　　连接OD,OE,OF　　OA+OB=2OF　　OC+OB=2OD　　OC+OC=2OE　　三式相加　　OA+OB+OC=OD+OE+OF　　OD=OP+PD　　OE=OP+PE　　OF=OP+PF　　OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP　　由第一问结论　　2PA+2PB+2PC=BP+AP+CP　　2PA+2PB+2PC=0　　1/2AP+1/2BP+1/2CP　　所以OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP　　向量OP=1/3(向量OA+向量OB+OC向

6、量)