用向量法证明直线与直线平行

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1、用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行导学案一、知识梳理1、设直线l1和l2的方向向量分别是为和，由向量共线条件得l1∥l2或l1与l2重合∥。2、直线与平面平行的条件已知两个不共线向量、与平面a共面（图（2）），一条直线l的一个方向向量为，则由共面向量定理，可得l∥a或l在平面a内存在两个实数x、y，使＝x＋y。3、平面与平面平行的条件已知两个不共线的向量、与平面a共面，则由两个平面平行的判定定理与性质得a∥或a与重合∥且∥4、点M在平面ABC内的充要条件由共面向量定理，我们还可得到：如果A

2、、B、C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分必要条件是，存在一对实数x、y，使向量表达式成立。对于空间任意一点O，由上式可得，这也是点M位于平面ABC面内的充要条件。知识点睛用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行时要注意：（1）若l1、l2的方向向量平行，则包括l1与l2平行和l1与l2重合两种情况。（2）证明直线与平面平行、平面与平面平行时要说明它们没有公共点。例1：如图3－28，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点M，N分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点。求证：MN∥侧面A

3、D′；MN∥AD′，并且MN＝AD′。5变式训练1已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点。求证：MN∥BD，MN＝BD。[例2]　在长方体OAEB－O1A1E1B1中，

4、OA

5、＝3，

6、OB

7、＝4，

8、OO1

9、＝2，点P在棱AA1上，且

10、AP

11、＝2

12、PA1

13、，点S在棱BB1上，且

14、SB1

15、＝2

16、BS

17、，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS5变式应用2在正方体AC1中，O，M分别为BD1，D1C1的中点．证明：OM∥BC1.例3]　如图所示，在正方体ABCD－

18、A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.5变式应用3如图所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，点M，N分别在AE，BD上，且AM＝DN.求证：MN∥平面BCE.堂巩固训练1．设M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若＝，则点B应为(　　)A．(－1,3，－3)　B．(9,1,1)C．(1，－3,3)D．(－9，－1，－1)2．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若＝，则C的坐标是A．(2，－，)B．(－2，，－)C．(2，－，－)D．(－2，－，)

19、3．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若⊥，则λ等于(　　)A．λ＝28B．λ＝－28C．λ＝14D．λ＝－144．已知a＝(2，－2,3)，b＝(4,2，x)，且a⊥b，则x＝____.55