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时间:2019-03-22
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1、高中数学专题辅导直线与平面平行证明1.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC,AB=,CE=EF=1(Ⅰ)求证:AF//平面BDE;(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDF;2.已知三棱柱ABC—A1B1C1的直观图和三视图如图所示,其主视图BB1A1A和侧视图A1ACC1均为矩形,其中AA1=4。俯视图ΔA1B1C1中,B1C1=4,A1C1=3,A1B1=5,D是AB的中点。(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1;(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值。3.如图,在底面为平行四边形的四棱锥中,,,点是的中点。(Ⅰ)求证:(Ⅱ)求
2、证:54.如图所示,四棱锥中,底面为正方形,平面,,,,分别为、、的中点.(1)求证:PA//平面;(2)求证:;(3)求三棱锥的体积.5.如图,棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形,,,侧棱,棱AA1与底面所成的角为,点F为DC1的中点.(I)证明:OF//平面;(II)求三棱锥的体积.6.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;(Ⅲ)求四面体B—DEF的体积;7.如图所示,在三棱柱中,平面
3、,.ABCA1B1C1D(Ⅰ)求三棱锥的体积;(Ⅱ)若是棱的中点,棱的中点为,证明:5《例题解析》1【解】在中,,,∴.∵,∴四边形为正方形.----6分(Ⅱ)当点为棱的中点时,平面.------8分EFABCA1B1C1D证明如下:如图,取的中点,连、、,∵、、分别为、、的中点,∴.∵平面,平面,∴平面. ------10分同理可证平面.∵,∴平面平面.∵平面,∴平面.------12分2解:(1)证明:因为主视图和侧视图均为矩形,所以该三棱柱为直三棱柱……1分又∵俯视图中A1C1=3,B1C1=4,A1B1=5∴A1C12+B1C12=A1B12A1∴∠A1C1B1
4、=∠ACB=90°∴AC⊥BC又∵AC⊥CC1,CC1∩BC=CA∴AC⊥平面BCC1B1又∵BC1平面BCC1B1∴AC⊥BC1………………………………4分(2)证明:设CB1与C1B的交点为E,连结DE∵D是AB的中点,E是BC1的中点∴DE∥AC1又∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1∴AC1∥平面CDB1……………………………………………………………8分(3)∵DE∥AC1∴∠CED为AC1与B1C所成的角在ΔCED中ED=AC1=,CD=AB=CE=CB1=∴cos∠CED=∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为。……………………12分3.⑴∴…………………2又
5、5∴…………………5∴…………………6(2)连结交于点,并连结…………………7四边形为平行四边形∴为的中点…………………8又为的中点∴在中EO为中位线,…………………10∴…………………124解(1)证法1:如图,取的中点,连接………1分ABCDdEFGPABCDEFGPH∵分别为的中点,∴………2分∵分别为的中点,∴.∴.∴四点共面………4分∵分别为的中点,∴.∵平面,平面,∴平面………6分.证法2:∵分别为的中点,∴,………2分∵,∴.………3分∵,,∴平面平面.∵平面,∴平面.………6分(2)解:∵平面,平面,∴.………7分∵为正方形,∴∵,∴平面.………10分(3)∵
6、,,∴.………12分∵,∴………14分55解:(I)四边形ABCD为菱形且,是的中点.....................2分又点F为的中点,在中,,...................................4分平面,平面,平面..........6分(II)四边形ABCD为菱形,,又,且平面,平面,平面,平面平面.在平面内过作,则,是与底面所成的角,.................................10分在,故三棱锥底面上的高为,又,所以,三棱锥的体积.5
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