人教版八年级数学下册《第16章二次根式的综合化简》讲义（含解析）

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1、9二次根式的综合化简满分晋级代数式12级二次根式的综合化简代数式11级分式恒等变形代数式10级二次根式的概念及运算秋季班第九讲秋季班第八讲暑期班第九讲漫画释义考试后记知识互联网题型一：二次根式的化简与求值思路导航二次根式的化简求值，是中考以及各级各类竞赛中的常见题目，其常用的方法有约分法，裂项法，取倒法等等．典题精练【例1】化简下列二次根式1.．【解析】．说明和互为倒数，故．原式2.【解析】3.【解析】【点评】此题是复合二次根式的化简，在初三的锐角三角函数中会涉及，老师还可练习，此类题型的步骤为：⑴将二次根式化

2、简为的形式⑵将a拆成x+y，b拆成xy的形式⑶【例1】1.已知，，求和．【解析】；[来源:学。科。网]2.已知，求的值．【解析】，，，3.已知且，求的值．【解析】∵∴原式=4.其中，，求的值．【解析】原式．例2精讲：、或、的应用共轭根式：形如，的两个根式互称为共轭根式．如果和互为共轭根式，那么和都是有理式．（其中为有理数）通常情况下，将含有一个二次根式的代数式有理化的方法是乘以它的共轭根式．解决根式问题，应当视情况将分母或分子进行有理化．推广：、虽然不是共轭二次根式，但是同样是有理式，因此也可以用来帮助分母或分

3、子有理化．探究1、分母有理化【变式1】计算：【解析】原式；探究2、分子有理化【变式2】已知，，，，比较，，的大小．【解析】分子有理化可直接得到答案，易得．探究3、利用共轭根式和来化简求值【变式3】已知，，求下列各式的值.⑴；⑵.【解析】∵，，∴，.⑴.⑵.探究4、构造共轭根式进行配对【变式4】已知，则的值是.【解析】设，；则，，，原式.探究5、共轭根式求值【变式5】已知．则的值为__________．【解析】注意到，所以，．【例1】1.已知，求的值．【解析】直接把代入代数式求值显然计算很繁琐，可适当变形．2.已

4、知，求的值．[来源:Z_xx_k.Com]【解析】∵，∴，∴，，则题型二：二次根式的综合应用思路导航二次根式的综合应用包括比较大小，实际应用问题等等.典题精练【例2】比较下列各式的大小(填“>”“<”或“=”)①______②③④________【解析】①（平方）两个正数，其平方大的大，，，则．②（被开方数），，∵，故，即．③（分母有理化）∵，，∴，∴．④法一（分子有理化）∵，∴．法二（倒数法），，【例1】已知、均为有理数，并满足等式，求、的值.【解析】由已知条件可得，所以，即，．【例2】若，，，求证：．【解析

5、】待证不等式左边的根式，让人联想起直角三角形中斜边的表达式；而其右边为的倍，又与正方形的对角线有关．我们借助几何图形给予证明．作出以为边长的正方形，分别在两边上截取线段、、，如图，则，，，而，显然，由，可得原不等式成立．思维拓展训练(选讲)训练1.已知，，求的值．【解析】∵，，∴∴．训练2.已知，求的值．【解析】直接代入肯定麻烦，先对已知条件进行变形．，，，即．下面采用降幂（次）：．训练3.已知，求及的值．【解析】，∵∴∵∴又∵∴训练4.设三所学校、、分别位于一个等边三角形的三个顶点处，现是网络时代，要在三个学

6、校之间铺设通讯电缆，小张同学设计了三种连接方案，如图所示，方案甲：；方案乙：（为中点）；方案丙：（为三角形三条高的交点），请你帮助计算一下哪种方案线路最短？【解析】设，则，，在中，，．方案甲：；方案乙：；方案丙：所以，．复习巩固题型一二次根式的化简与求值巩固练习【练习1】已知，求的值．（四中期中）【解析】当时，原式．【练习2】若求的值【解析】由得即两边平方，得∴原式=[来源:学科网ZXXK]题型二二次根式的综合应用巩固练习【练习3】已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（）A．3B．5C．15D．25【解析

7、】C[来源:Zxxk.Com]【练习4】某电力公司为了改善农村用电电费过高的问题，准备在各地农村进行电网改造，富康乡有四个村庄，，，正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，有四种架设方案，如图中的实线部分，请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．（以下数据可供参考：，，）【解析】方案4最省钱．[来源:学科网ZXXK]【练习5】若表示不超过的最大整数（如等），则_________________．【解析】2000课后测测试1.已知，求⑴；⑵.（宣武期末）【解析】由题意得⑴原式⑵原式测试2.

8、先化简，再求值：，其中，．【解析】．当，时，原式测试3.试比较与的大小．【解析】，．显然，．创新思维相传中国古代著名军事家孙膑的老师鬼谷子在教学中极善于培养学生的创新思维。其方法别具一格。有一天，鬼谷子给孙膑和庞涓每人一把斧头，让他俩上山砍柴，要求“木柴无烟，百担有余”，并限期10天内完成。庞涓未加思索，每天砍柴不止。孙膑则经过认真考虑后，选择一些榆木放到一个大肚子小门的窑洞里，烧成木