江苏省2019高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第1讲 空间中的平行与垂直学案

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1、第1讲　空间中的平行与垂直[考情考向分析]　自从江苏实施新课标以来，命题者严格执行江苏高考对立体几何的考试说明要求，大幅度降低难度，命题的焦点是空间平行与垂直．试题总体在送分题的位置，但是对考生的规范答题要求比较高．热点一　空间线面关系的判定例1　(1)若直线a与平面α不垂直，则在平面α内与直线a垂直的直线有________条．答案　无数(2)(2018·江苏泰州中学调研)已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为________．(填序号)①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α

2、，a⊥β，则α∥β.答案　③④解析　可以借助长方体进行判断，①中的a，b也可能相交或异面；②中的α，β可能相交，③④正确．思维升华　解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．跟踪演练1　如图，平面α与平面β相交于BC，AB⊂α，CD⊂β，点A∉BC，点D∉BC，则下列叙述正确的是________．(填序号)①直线AD与BC是异面直线；②过AD只能作一个平面与BC平行；③过AD只

3、能作一个平面与BC垂直；④过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行．答案　①②④解析　由异面直线的判定定理得直线AD与BC是异面直线；在平面β内仅有一条直线过点D且与BC平行，这条直线与AD确定一个平面与BC平行，即过AD只能作一个平面与BC平行；若AD垂直于平面α，则过AD的平面都与BC垂直，因此③错；过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行．故①②④正确．热点二　直线与平面的平行与垂直例2　(2018·江苏扬州中学调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中

4、点．(1)求证：FG∥平面PBD；(2)求证：BD⊥FG.证明　(1)连结PE，因为G，F分别为EC和PC的中点，∴FG∥PE，又FG⊄平面PBD，PE⊂平面PBD，∴FG∥平面PBD.(2)∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵FG⊂平面PAC，∴BD⊥FG.思维升华　垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的

5、中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.跟踪演练2　(2018·苏锡常镇四市调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．(1)若PB＝PD，求证：PC⊥BD；(2)求证：CE∥平面PAD.证明　(1)取BD的中点O，连结CO，PO，因为CD＝CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO.因为PB＝PD，所以△PBD为等腰三角

6、形，所以BD⊥PO.又PO∩CO＝O，PO，CO⊂平面PCO，所以BD⊥平面PCO.因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD.(2)由E为PB的中点，连结EO，则EO∥PD，又EO⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EO∥平面PAD.由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD，又CO⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CO∥平面PAD.又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面COE，所以平面CEO∥平面PAD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD.热点三　平面与平面的平行与垂直例3　(2018·江苏盐城中学模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为长方体，点P是CD中点，点Q是A1

7、B1中点．(1)求证：AQ∥平面PBC1；(2)若BC＝CC1，求证：平面A1B1C⊥平面PBC1.证明　(1)取AB中点为R，连结PR，B1R.由已知点P是CD中点，点Q是A1B1中点可以证得，四边形AQB1R，PRB1C1都为平行四边形，所以AQ∥B1R，B1R∥PC1，所以AQ∥PC1，因为AQ⊄平面PBC1，PC1⊂平面PBC1，所以AQ∥平面PBC1.(2)因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1为长方体，BC＝CC1，所以B1C⊥BC1，因为A1B