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1、基础勾股定理典型例题类型一、勾股定理及其逆定理的综合应用1.如图，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB±一点，且那么ADEF是直角三角形吗？为什么？答案与解析举一反三O【思路点拨】这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑.仔细读题会意可以4TJ以设AB=4a,那么发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由BE=CE=2a,AF=3a,BF=a,那么在RtAAFD、RtABEF和RtACDEl',分别利用勾股定理求tBDF,EF和DE的反，反过来再利用勾股定理逆定理去判断ADEF是否是直角三角形.【答案与解析】设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF
2、=3a,BF=a在RtACDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2a)2=20a2同理EF2=5a2,DF2=25a2在ZXDEF中，EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2•••△DEF是直角三角形，且ZDEF=90°.【总结升华】本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题.D.山2.如图所示，A.#B.后答案与解析举-•反三【思路点拨】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交OA于F,连接DF.在厶BDF中，由勾股定理即可求出BD的长.【答案与解析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交OA于F,连接DF.可证ZFDB=90°,ZF=ZCBF,.DF
3、=CB=hBF=2+2=4,・・・BD二■尿.故选B.【总结升华】本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以A为圆心，AB长为半径的圆，构建直角三角形从而求解.类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用3・如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC=1,将RtAABC绕A点逆时针旋转30°后得到RtAADE,点B经过的路径为弧BD,则图屮阴影部分的面积是【思路点拨】先根据勾股定理得到AB=,再根据扇形的面积公式计算出S冈形八bd，由旋转的性质得到RtAADE=RtAACB,T是SSaade扇形abd_Saabc=S尿形abd【答案与解析】VZACB=90°,AC=BC=1
4、,・・.AB=短，30・m（扬％JT・q—3^06••3扇形ABD—V,又.RtAABC绕A点逆时针旋转30°后得到RtAADE,•••RtAADE^RtAACB,••S阴影韶分=SaaDe+S扇形ABD—S△八BC=S曲形ABD=【总结升华】本题考查了扇形的面积公式：360.也考查了勾股定理以及旋转的性质.考点涉及到扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质.4.如图，矩形纸片ABCD中，己知AD二8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE,且EF=3,则AB的长为（）.A.3B.4C.5D.6ADBEC答案与解析举-•反三【思路点拨】先根据矩形的特点求出BC的
5、长，再由翻折变换的性质得出ACEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在AABC中利用勾股定理即可求出AB的长.【答案与解析】•・•四边形ABCD是矩形，AD二8,BC=8,•••△AEF是ZAEB翻折而成，ABE=EF=3,AB=AF,ACEF是直角三角形，.•.CE=8-3=5,在RtACEF中，CF=Vfe2—3^=4,设AB=x,在RtAABC中，AC2=AB2+BC2,即(x+4)2=x2+82,解得x=6,故选D.【总结升华】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种対称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答
6、此题的关键.4.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角ZA=30°,ZB=90°,BC=6米.当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE=米时，有DC2=AE2+BC2.答案与解析【思路点拨】根据己知得岀假设AE=x,可得EC=12-x,利用勾股定理得出DC?=DE2+EC2=4+(12-x)2,AE2+BC2=x2+36,即可求出x的值.【答案与解析】假设AE=x,可得EC=12—x,・・・坡角ZA=30°,ZB=90°,BC=6米，/.AC=12米，•・•正方形DEFH的边长为2米，即DE=2米，.•.DC2=DE2+EC2=4+(12-x
7、)2,AE2+BC2=x2+36,vdc2=ae2+bc2,.'.4+(12—x)2=x?+36,解得：X=呻.14故答案为：3.［总结升华］此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出CE,AE的长度是解决问题的关键4.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造.测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.答案与解析举--反三【思路点拨】原题并没有给岀图形，要根据题
