变换探究角度提升学习境界

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1、本文发表于浙师大《中学教研》（数学）2009年第9期变换探究角度提升学习境界卢明李跃仁（浙江海盐元济高级屮学314300）波利亚在论述“怎样解题”时十分强调“解题回顾”，即在解题后必须再口问一下“我能一眼就将结果或方法看出吗？”貌似平淡无奇的一问，却颇值得我们体悟.什么叫“一眼看出”？这是一种“会当凌绝顶，一览众山小”的境界.会解题关键在于能够“看透”题，一旦“看透”了题，解题策略口然就水落石出了•可见，波利亚看重的不只是会求解，而是学习境界的提升，只有学习境界提升了，解题能力才会进一步提高.那么，如何提升学生的学习境界呢？除了“解题冋顾”，还有别的路径吗？其实，学生从

2、知道一道题怎样解，到知道这道题怎么來，是学习境界的一人跨越.假如教师在教学适当变换探究的角度,引导学牛主动关注题目的“造法”，同样是提升学牛学习境界的一条有效途径.1一次有意义的尝试基于以上思考，笔者组织了一次公开课，课题为“以自然对数函数为背景來构造命题”.在选择问题的探究角度时，特意将学牛定位在：假如我是命题者，我会怎样思考.下面结合课例谈一点教学后的感悟和体会.1.1“背景”知识准备探究1与函数y=lnx的图象有关的3个命题.教师：请说出与函数y=lnx的图象相切于点（1,0）的直线的方程.学生1：所求的切线方程为：y二兀一1・"y=x-l以下特征：1°图彖是上凸

3、的；2°图彖均在切线y=1的下方，由此你想到什么结论?教师：对！大家请看图1,函数y=Inx的图彖具有学生2：对任意xwRj恒有lnx

4、xw（to,1）,恒有ln（l-x）<-x,当口仅当兀=0时取等号.教师：你能证明以上两个命题吗？学牛3：我证命题3.因为x6（-oo,l）,所以1-x〉0,符介命题1条件，所以ln(l-x)<(l-x)-l=-x,当且仅当1-x=l,即x=0时取等号.教师：非常好！用证明过的命题来证明新的命题，是数学中惯用的思想方法.以上三个命题的结论，既可以用于不等式的证明，也可以用于不等式的放缩.经过放缩不等式的一•边含有对数运算,另一边不再含有对数运算.近儿年许多专家利用以上命题为背景，命出了许多高质量的高考压轴题,我们不妨也来亲身体验一下做一个命题者的思维过程.1.2命题过程

5、体验探究2将图1中的“切线”变成“割线”（如图2）.设割线加的斜率为交函数/（x）=lnx的图象于/4（州，）1）、两点•试判断能否在区间（可,兀2）内找到一点•使得以P（§，1叱）为切点的函数y=x图彖的切线nIIm?若存在，试求出切线的斜率红.学生4：存在的.可求矶“⑷斗#.教师：对！因为函数/（X）在区间[x,,x2]±连续，在区间（州,兀2）上可导.那么£与州、兀2乂有什么关系呢？学生5：由兀]<§<兀2，且§=丄=—得，<—

6、x的图象于4（旺，兀）、〃（勺，）'2）两点.求证：1X]<—州可以吧?(老师允许)1狂因为k=/（X2）—/（xJ=ln%2—lnX］二_Jx2-Xjx2-X{x2-兀

7、X01.由命题1In玉玉-10

8、的图象出发，以图象为背景来构造命题，这种思考问题的方式也是命题专家常用的一种思维方式.下面我们来看看专家命的一道题，然后与我们造的题作一比较.(北京2009年第一次六校联考试题21)已知函数f(x)=ax2+x.(I)求/(x)的单调区I'可；(II)当d=0时，设斜率为k的直线交函数/(x)=lnx的图彖于人(州，必)、〃(兀2』2)两点(X,<).求证：x}<—