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1、案例3怎样买旧车?袁卫摘自《趣味统计案例（十二）》・《北京统计》1998（12）我们知道，国外的旧车市场很多。出国留学或访问的人有时花很少的钱就可以买一•辆相当不错的车，开上几年也没问题。但运气不好吋，开不了几天就这儿坏那儿坏的，修年的钱是买车钱的好几倍，经常出毛病带来的烦恼就更别提了。为了帮助买II」车的人了解各种II」车的质量和性能，国外出版一种专门介绍各品牌III车以及各年代不同车型各主要部件质量数据的IH年杂志。比如有个买主想买某种型号的IH车，他从旧车朵志上可发现这种旧车平均有30%的传动装置有质量问题。除了从旧车朵志上寻找有关旧车质量的信息外，在I口车市场上买I口车时还需要有
2、懂车的内行來帮忙。比如可以找会修车的朋友帮助开一开，检杏各主要部件的质最。因为旧车杂志上给出的是某种车辆质量的平均信息，就要买的某一辆來讲町能是好的传动装置，也可能会冇问题。比较常见的方法是花一点钱请个汽午修理工帮助开几圈，请他帮助判断一下传动装置和其他部件的质量。当然,尽管汽车修理工很有经验，也难免有判断不准的吋候。假定从过去的记录知道某个修理工对于传动装置有间题的车，其小90%他可以判断出有问题，另有10%他发现不了其中的问题。对于传动装置没问题的乍，他的判断也差不多同样出色，•其中80%的车他会判断没问题，另外的20%他会认为冇问题，即发生判断的错误。根据这些已知信息请你帮助买主计
3、算如下的问题：1、若买主不雇用修理工，他买到一辆传动装置有问题的车的概率是多少？2、若买主花钱雇修理工帮他挑选和判断，当修理工说该车“传动装宜有问题”时该车传动装置真有问题的概率是多少？3、当修理工说该车“传动装置没问题”时而该车传动装置真冇问题的概率是多少？对于第1问，回答是简单的，即有3（）%的可能性买到一辆有传动装置间题的旧车。我们在这里只利用旧车杂志的信息。第2问和第3问是贝叶斯估计或者利用贝叶斯公式进行决策的问题。我们知道，贝叶斯公式是个条件概率的公式，即D⑷P帥J7=1其中p（AlB）称为事件人的后验概率，即在已知事件b发生条件下事件人发生的概率；"A）是事件4的先验概率；卩
4、（创A）称为样本信息，即在A发生条件下事件3的概率。对于第2问，我们不妨令：4〜实际有问题，仏=实际没问题耳二修理工判断“有问题”，场二修理工判断“没问题”则可将贝叶斯公式改写成：P（实际有问题
5、修理工判断“有问题”）二/W馮问题）R
6、＞理妙晰“有问题”
7、郵荫问题）A'対示有问题P（修fflZ判析“有问题”
8、列示有问题+P（实般知哋）4修勿慚“有问题书祢知憾）根据己知条件，计算式中各项的概率分别为：p（A）=p（实际有问题）=0.3P仏）=p（实际没问题）=0.7P（B」Aj=P（修理工判断“有问题实际有问题）=0.9P（B}A2）=P（修理工判断“有问题实际没问题）=0.2P（B2
9、A}）=P（修理丁判断“没问题”
10、实际有问题）=0.1P（爲肉）=P（修理工判断“没问题实际没问题）=0.8代入上式P（£
11、Bj=P（实际有问题
12、修理工判断“有问题”卜——也岁——=0.660.3x0.9+0.7x0.2这个结果表明，当修理工判断某辆车的传动装置“冇问题”时，实际冇问题的概率为0.66,即修理工的判断有问题使得真有问题的概率由0.30增长到0.66o用贝叶斯公式计算也许觉得有些不好懂，我们还可以用概率树更直观的形式來表示及计算（见下图1）：图1条件概率树的计算利用图1可以总接计算贝叶斯公式的条件概率：P（实际有问题
13、修理工判断“有问题”卜筈=0.66概率树方法简单直观，对
14、于一些较简单的决策问题是一种理想的丄具。由于已经冇了贝叶斯公式和概率树，第3问的计算就简单了。若用公式计算则冇：P（A02）=P（实你有问郦參屮I斷“没
15、'可题”卜P（灭示有问跚P（修理1芳慚“没问题”
16、弼有问题）卩（與示有问题）P（修SB刿析“没训题［粥有问题I+P（郵股H题）P（修曲慚“没M题”
17、翊泼问题）=0.0503x0,1_0,0303x0.1+0.7x0.80.59若川图1的结果直接计算，则有p（A
18、B2）=p（实际有问题I修理工判断“没问题”卜竺=0.05根据图1和贝叶斯公式的计算结果,可将图1的条件概率树画成贝叶斯公式的逆概率树,见图2：图2贝叶斯公式记算的逆概率树比较图
19、2与图1,我们可以看到如下的区别：第一，图1树的主干是实际状况，分支是修理工判断，而图2刚好相反，主干是修理工判断，分支是实际状况。第二，图1是一种自然的过程，图2是一种计算的结果。图1主干实际状况是先验概率,分支修理工判断加丁样本信息或实验所提供的信息。而图2是利用图1的先验概率（先验信息）和样本信息综合计算得出的结果。主T•修理工判断反映的是根据图1的先验概率和样本信息修理工做出“有问题”和“无问题”的可能性。分支实际状况则是后
