《矩阵与变换》教学难点成因及解决策略

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1、《矩阵与变换》教学难点成因及解决策略新课标实验教材选修4—2为《矩阵与变换》，本专题以前为大学内容，现在首次卞放到中学,因ll'lj如何把握该专题的教学要求，如何选择恰为的教学方法，如何把抽彖深奥的内容简明扼耍地传授给学生等等，都值得研究。木文根据自己的学习研究和切身的教学体会就教学屮容易形成难点的原因及解决策略谈一点看法，供参考。1.难点形成的原因笔者通过一轮的教学，发现教学中的难点主要冇：（1）矩阵与变换概念的引入；（2）旋转矩阵与切变矩阵建立；（3）矩阵乘法的性质；（4）特征值与特征向最；（5）矩阵的应用。这些难点产牛的原因综合來说有以下儿方面：1.1从教师教学的角度

2、来看《矩阵与变换》不是人学教材屮矩阵的简单下放，不是通过行列式、线性方程组的求解来引入和展开矩阵的相关知识，而是通过平面图形的儿何变换來讲解一些常见的、简单的二阶矩阵，把矩阵作为一个研究平面图形变换的棊本工具。这样的教学安排，对于教师来说，也是陌生的，所以教学上很难把握。此外，対于教学中和学生学习后如何进行评价、达到什么样的要求，由于这部分内容在高考屮还没有岀现过，缺乏相对权威的“参照系”，容易导致教师“深挖洞”和“广积粮”，造成学生过重的负担。1・2从学生学习的角度来看《矩阵打变换》中的概念抽彖、计算较为复杂，更为困难的是，作为全新的知识，他们头脑中没冇任何知识结构來同化

3、新知识，或者说所学的知识找不到固定的“锚桩”，所以对接受新知识有一定难度，而且容易遗忘。1・3从教学内容来看虽然《短阵与变换》内容相对独立，但述是涉及到较多的向量和三角知识，由于教学安排，这部分内容在高一第一学期学习，而本专题却在高二下学期最后学习，前后相差近两年，学生有—•定程度的遗忘。另外，还有该专题还涉及到如一一映射、反函数、定比分点等知识，在必修中没有耍求或者耍求较低，也会对本专题的学习造成一定的困难，形成难点。2.解决难点的策略在教师通读教材，充分理解本专题的教育目标和设计意图的基础上，要客观地、有预见性地估计学生学习时所而临的闲难，进行针对性地教学设计，把学生的

4、学习和发展放在首要位置，才能冇效地克服这些教学难点。2.1注意创设问题情境，从学生熟悉的事物中引入概念本专题的绝大多数内容都有着生动的儿何背景和现实背景，教师可以挖掘教材内外的大量实例进行教学，让学生从熟悉的事物中体会和理解矩阵及相关概念的产生，从1何把抽彖的概念建立在学生熟悉背景屮。案例1.矩阵和列向量的乘法引入某班有张三、李四和王五三位同学，他们在平时的数学成绩分别为84分、90分、95分；期中考试的数学成绩分别为80分、90分、85分；期末考试成绩分别为90分、88分、92分。如果该学校规定每位同学的学期总评分数分别由平时、期中和期末按比例3:3:4构成。试问：（1）

5、如何用矩阵表示三位同学的平时、期中和期末成绩？（2）把比例系数写成列向量的形式；（3）如何利用成绩矩阵和比例系数的列向量分别计算这三位同学的学期总评成绩。说明：该案例从学生熟悉的学期总评成绩计算方法提出问题，一方面回顾了前面一节的内容,即矩阵和列向量的表示，另一方面又引出了下一节新内容，即矩阵与列向量的乘法，通过该问题计算不仅町以讣•学牛很好地记忆这种乘法规则，更有助于他们理解这种规定的内在合理性。类似这种问题情境的引入教材中还有很多，例如，从向量、歌唱比赛成绩和方程组系数的矩阵表示引入矩阵概念，从学生在初屮已经知道的全等、对称等几何知识引入恒等变换、反射变换;从必修2的三

6、视图角度引入投影变换；从游乐园中的大风车引入旋转变换；从推纸牌引入切变变换，等等。这些问题情境有助于他们对新知识的接受、理解和应用。2.2对于涉及的旧知识适当的复习，为新知识的学习奠定基础木专题中大量地使用了平面向量的冇关知识，所以在教学前或教学中对平面向量加减法、数乘和基木定理要适当的复习，让学生不会因为对【口知识的遗忘，显得惴惴不安，从而影响学好木专题的自信心。在旋转变换里还涉及了一定的三角函数知识，在教学中也有必要进行一定的回顾。除此Z外，为了使本专题教学更加顺利，促进对新知识的掌握，教师还可以对定比分点、反函数、一一映射等内容进行补充和拓展，但要注意深度和广度。2.

7、3把握教学重点，突出思想方法，注重几何直观，减少繁杂的计算常见：阶矩阵本专题开设口的是要求学生了解矩阵与变换的基本知识和思想方法，教学中要充分利用几何图形的直观，把数形结合的思想贯穿于整个教学过程(如图1)。形:恒等变换伸压变换反射变换旋转变换投影变换J切变变换变换的复合逆变换特征向量数恒等变换矩阵)伸压变换矩阵反射变换矩阵旋转变换矩阵投影变换矩阵切变变换矩阵丿矩阵的乘法逆矩阵特征值在教学时，尽量少用抽象形式的运算符号，不强调系统性，要特别重视以直观的儿何变换为载体，引入矩阵与变换，通过“矩阵”与“变换”这一“数”