2018年秋高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.2 弧度制学案 新人教A版必修4

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1、1.1.2　弧度制学习目标：1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)3.了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)[自主预习·探新知]1．度量角的两种单位制(1)角度制：①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的.(2)弧度制：①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．2．弧度数的计算思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？[提示]　一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．3．

2、角度制与弧度制的换算4．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π2π5．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR.(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.[基础自测]1．思考辨析(1)1弧度的角是周角的.(　　)(2)弧度制是十进制，而角度制是六十进制．(　　)(3)1弧度的角大于1度的角．(　　)[解析]　(1)错误，1弧度的角是周角的.(2)(3)都正确．[答案]　(1)×　(2)√　(3)√2．(1)化为角度是________．(2)105°的弧度数是_

3、_______．(1)252°　(2)　[(1)＝°＝252°；(2)105°＝105×rad＝rad.]3．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．　[由已知得S扇＝××22＝.][合作探究·攻重难]角度与弧度的互化与应用　(1)①将112°30′化为弧度为________．②将－rad化为角度为________．(2)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小.【导学号：84352012】(1)①rad　②－75°　　[(1)①因为1°＝rad，所以112°30′＝×112.5rad＝rad.②因为1rad＝°，所以－rad＝－°＝－75°.

4、](2)法一(化为弧度)：α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝.显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二(化为角度)：β＝＝×°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝×°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.[规律方法]　角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键：抓住互化公式πrad＝180°是关键；(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×°＝度数；(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.[跟踪训练]1．(1)将－157°30′化成弧度为________．(2)将－化为度是________．(1)－πrad　(2)－396°　[(1)－

5、157°30′＝－157.5°＝－×rad＝－πrad.(2)－＝－×°＝－396°.]2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)π，π　[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．当k＝0时，θ＝72°＝π；当k＝1时，θ＝432°＝π，所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有π，π.]用弧度数表示角　(1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是(　　)A.B.C.D.(2)用弧度表示终边落在如图117所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.图117[思路探究]　(1)→(2)→(1)D　[(1)因为角α的终边经过点(a，a

6、)(a≠0)，所以角α的终边落在直线y＝x上，所以角α的集合是.](2)因为30°＝rad,210°＝rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.[规律方法]　1.弧度制下与角α终边相同的角的表示：在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β

7、β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤：(1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角．提醒：角度制与弧度制不能混用.

8、[跟踪训练]3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋(k∈Z)C　[A，B中弧度与角度混用，不正确．π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.]4．用弧度写出终边落在如图118阴影部分(不包括边界)内的角的集合．图118[解