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《2019年高考数学一轮总复习 8.7 证明平行与垂直 证明平行与垂直题组训练 理 苏教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019年高考数学一轮总复习8.7证明平行与垂直证明平行与垂直题组训练理苏教版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．平面α的一个法向量为n＝(1，－，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为________．解析 y轴的方向向量为m＝(0,1,0)，设y轴与平面α所成的角为θ，则sinθ＝
2、cos〈m，n〉
3、，∵cos〈m，n〉＝＝＝－，∴sinθ＝，∴θ＝.答案 2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．解析 以D为原点，分别以DA，DC，
4、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，则D(0,0,0)，N，M，A1(1,0,1)，∴＝，1＝，∴·＝1×0＋1×＋×1＝0，∴⊥，∴A1M与DN所成的角的大小是90°.答案 90°3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．解析 以A为原点建系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝.设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，则∴∴n1＝(1,2,2)，∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0
5、,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝，故锐二面角的余弦值为.答案 4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则
6、
7、为________．解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，∵点M在AC1上且＝，∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)∴x＝a，y＝，z＝.得M，∴
8、
9、＝＝a.答案 a5．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．解析 以D为坐标
10、原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝
11、cos〈n，〉
12、＝＝.答案 6.过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是________．解析 法一 建立如图1所示的空间
13、直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为＝，故所求的二面角的大小是45°.法二 将其补成正方体．如图2，不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小为45°.答案 45°7．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为________．解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则C1(，1,0)，A(0,0，2)，＝(，1，－2)，平面BB1
14、C1C的一个法向量为n＝(1,0,0)．所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为＝＝.答案 8．已知O点为空间直角坐标系的原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是________．解析 ∵点Q在直线OP上，∴设点Q(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－.当λ＝时，·取得最小值－.此时＝.答案 二、解答题9．(xx·江苏卷
15、)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．解 (1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．因为cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因
16、为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0.取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC
