高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数学案 苏教版必修4

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1、任意角的三角函数一、考点突破知识点课标要求题型说明任意角的三角函数1.理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值；2.会判断给定角的三角函数值的符号；3.会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围选择题填空题任意角的三角函数在高考中属于基础题，以选择填空形式出现。注意三角函数的几何应用—三角函数线二、重难点提示重点：三角函数的定义、三角函数线。难点：用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切。一、任意角的三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），并记

2、OP

3、＝r（此时r＝>0），那么，（1）比值叫做的正弦，记做，即；（2）比值叫

4、做的余弦，记做，即；（3）比值叫做的正切，记做，即。注意：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P（x，y）在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关。二、三角函数在各象限的符号根据三角函数的定义可知，三角函数在各象限的符号如下图：技巧点拨：口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”。三、三角函数线（1）有向线段：规定了方向的线段。（2）三角函数线【核心归纳】（1）三角函数线的定义：正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定的有向线段的数量可以用来表示三角函数值，统称为三角函

5、数线。（2）特殊情况：当角的终边在轴上，正弦线、正切线分别变成了一个点，其数量为0；当角的终边在轴上，余弦线变成了一个点，其数量为0，正切线不存在。（3）三角函数线的主要作用解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象和性质的基础。例题1（青岛）已知角θ的终边上有一点P（－，m），且sinθ＝m，求cosθ与tanθ的值。思路分析：先利用三角函数定义sinθ＝，求出m的值，再用公式cosθ＝，tanθ＝代入数据求解。答案：由已知r＝＝，∴，解得m＝0，或m＝±，（1）当m＝0时，cosθ＝－1，tanθ＝0；（2）当m＝时，cosθ＝－，tan

6、θ＝－；（3）当m＝－时，cosθ＝－，tanθ＝。技巧点拨：1.利用三角函数的定义求一个角的三角函数值需明确三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r。2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论。例题2在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合。（1）sinα≥；（2）cosα≤－。思路分析：根据三角函数线，在单位圆中首先作出满足sinα＝，cosα＝－的角的终边，然后由已知条件确定角α的终边范围。答案：（1）作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区

7、域（如图①阴影部分）即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α

8、2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}，（2）作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域（如图②阴影部分）即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α

9、2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}。技巧点拨：三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的有力工具。忽视角所在象限的讨论致误【满分训练】已知角α的顶点在原点上，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为（3a，4a）（a≠0），求角α的正弦值和正切值。错解：由题意得x＝3a，y＝4a，所以r＝＝＝5a，所以sinα＝＝＝，tan

10、α＝＝＝。错因分析：本题中点的坐标含参数，当a＞0时，该点在第一象限，即角α的终边在第一象限；当a＜0时，该点在第三象限，即角α的终边在第三象限，故应对a的取值范围进行分类讨论。防范措施：根据角的终边上一点的坐标求三角函数值时，若坐标中含有字母，则应分类讨论。正解：由题意得x＝3a，y＝4a，所以r＝＝＝5

11、a

12、，若a＞0，则r＝5a，所以sinα＝，tanα＝＝＝；若a＜0，则r＝－5a，所以sinα＝＝＝－，tanα＝＝＝。技巧点拨：开方运算时注意这一结论。