（京津专用）2019高考数学总复习 优编增分练（80分）解答题标准练（一）理

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1、[80分]解答题标准练(一)1．如图，在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D为BC边上一点．(1)若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的长；(2)若AB＝AD，试求△ADC的周长的最大值．解　(1)∵S△DAC＝2，∴·AD·AC·sin∠DAC＝2，∴sin∠DAC＝.∵∠DAC<∠BAC<π－＝，∴∠DAC＝.在△ADC中，由余弦定理得，DC2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos，∴DC2＝4＋48－2×2×4×＝28，∴DC＝2.(2)∵AB＝AD，B＝，∴△ABD为正三角形．在△ADC中，根据正弦定理，可得＝＝，∴AD＝8sinC，DC＝8sin，∴△A

2、DC的周长为AD＋DC＋AC＝8sinC＋8sin＋4＝8＋4＝8＋4＝8sin＋4，∵∠ADC＝，∴0

3、11＋7d)，又d≠0，∴d＝2，∴a1＝11－4×2＝3，∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1(n∈N*)．(2)证明　由(1)得，Sn＝＝n(n＋2)，∴＝＝，∴Tn＝＋＋…＋＝＝＝－<.∴Tn<.3．(2018·厦门质检)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝，BC＝2AD＝2，E为CD的中点，PB⊥AE.(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD；(2)若PB＝PD，PC与平面ABCD所成的角为，求二面角B－PD－C的余弦值．(1)证明　由ABCD是直角梯形，AB＝，BC＝2AD＝2，可得DC＝2，BD＝2，从而

4、△BCD是等边三角形，∠BCD＝，BD平分∠ADC，∵E为CD的中点，DE＝AD＝1，∴BD⊥AE.又∵PB⊥AE，PB∩BD＝B，又PB，BD⊂平面PBD，∴AE⊥平面PBD.∵AE⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD.(2)解　方法一　作PO⊥BD于点O，连接OC，∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PO⊂平面PBD，∴PO⊥平面ABCD，∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，∠PCO＝，又∵PB＝PD，∴O为BD的中点，OC⊥BD，OP＝OC＝，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角

5、坐标系，则B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，＝(0，，－)，＝(－1,0，－)．设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得令z＝1，则x＝－，y＝1，得n＝(－，1,1)．又平面PBD的一个法向量为m＝(0,1,0)，设二面角B－PD－C的平面角为θ，则

6、cosθ

7、＝＝＝，由图可知θ为锐角，∴所求二面角B－PD－C的余弦值是.方法二　作PO⊥BD于点O，连接OC，∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PO⊂平面PBD，∴PO⊥平面ABCD，∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，∠PCO＝，又

8、∵PB＝PD，∴O为BD的中点，OC⊥BD，OP＝OC＝，作OH⊥PD于点H，连接CH，则PD⊥平面CHO，又HC⊂平面CHO，则PD⊥HC，则∠CHO为所求二面角B－PD－C的平面角．由OP＝，得OH＝，∴CH＝，∴cos∠CHO＝＝＝.4．(2018·益阳模拟)某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位：千克)，整理得下表：日需求量140150160170180190200频数51088

9、775以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．(1)若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X(单位：元)，求X的分布列及期望；(2)若该超市计划一天购进A水果150千克或160千克，请以当天A水果获得的利润的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中任选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？解　(1)若A水果日需求量为140千克，则X＝140×(15－10)－(150－140)×(10－8)＝680(元)，且P(X＝680)＝＝0.1.若A水果日需求量不小于150千克，

10、则X＝150×(15－10)＝750(元)，且P(X