2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理 (IV)

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2019-2020学年高二数学下学期期中试题理(IV)本试卷由两部分组成.第一部分：第一学期前的基础知识和能力考查，共103分；选择题包含第1题、第3题、第5题、第6题、第7题，第11题、第12题共35分；填空题包含第13题、第16题，共10分；解答题包含第17题、第18题、第20题、第21题、第22题，共58分.第二部分：第一学期后的基础知识和能力考查，共47分;选择题包含第2题、第4题、第8题、第9题、第10题，共25分；填空题包含第45题、第15题，共10分；解答题包含第19题，共12分.全卷共计150分,考试时间120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（）A．B．　C．D．2.若复数满足，则()A.B.C.D.3．在等比数列{}中，表示前项和，若，则公比等于()A.B.C.1D.34．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为（）A．10B．16C．20D．245．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A.B.C.D.76.已知函数的图象的一个对称中心为,则函数的单调递减区间是()A.ZB.ZC.ZD.Z 是否开始结束输出7．执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A．B．C．D．8．设大于0，则3个数：，，的值()A．都大于4B．至少有一个不大于4C．都小于4D．至少有一个不小于49.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。这部专著中有部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这部名著中选择部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为()A.B.C.D.10.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教,每地至少1人,其中甲和乙一定不同地,甲和丙必须同地,则不同的选派方案共有()种　A.27B.30C.33D.3611．过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为，则双曲线的离心率e的值是(　　)A.B.C.D.12．如果对定义在上的函数，对任意，都有,则称函数为“函数”.给出下列函数:①；②；③；④.其中函数是“函数”的个数为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把正确答案填在答题卡中横线上） 13.已知平面向量与的夹角为，，，则.14．若展开式中的系数为，则__________．15.曲线与直线及轴所围成的图形的面积是________．16.在“家电下乡”活动中，某厂要将至少100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为元三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）如图，梯形ABCD中，.(Ⅰ)若求AC的长；(Ⅱ)若，求的面积.18．（本题满分12分）设，数列的前项和为，已知，成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.19.(本小题满分12分)为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为，求的分布列和数学期望E． 20．（本题满分12分）如图，是平行四边形，已知，,平面平面.（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值.21、已知椭圆的两焦点为，，离心率.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线，若与此椭圆相交于，两点，且等于椭圆的短轴长，求的值；（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．（Ⅰ）求的解析式及单调减区间；（Ⅱ）若函数无零点，求的取值范围．深圳高级中学（集团）xx第二学期期中测试高二数学（理）命题人：王会丹审题人：高书洪本试卷由两部分组成。第一部分：第一学期前的基础知识和能力考查，共103分；选择题包含第1题、第3题、第5题、第6题、第7题，第11题、第12题共35分；填空题包含第13题、第16题，共10分；解答题包含第17题、第18题、第20题、第21题、第22题，共58分。第二部分：第一学期后的基础知识和能力考查，共47分选择题包含第2题、第4题、第8题、第9题、第10题，共25分；填空题包含第45题、第15题，共10分； 解答题包含第19题，共12分。全卷共计150分。考试时间120分钟注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（）BA．B．　C．D．2.若复数满足，则()（A）（B）（C）（D）2C【解析】3．在等比数列{}中，表示前项和，若，则公比等于()（A）（B）（C）1（D）33D【解析】两式相减得，从而求得.4．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为（）A．10B．16C．20D．24【答案】C【解析】（1）甲在前，乙在后：若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，共种方法.（2）同理，乙在前，甲在后，也有种方法.故一共有种方法.5．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()（A）（B）（C）（D）7 5A【解析】该几何体是棱长为2的正方体截去一个三棱锥后所得的多面体，其体积为6.已知函数的图象的一个对称中心为,则函数的单调递减区间是()D(A)Z(B)Z(C)Z(D)Z是否开始结束输出7．执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由程序框图可知：…………∴周期为3，由，得输出的结果为．8．设大于0，则3个数：，，的值()A．都大于4B．至少有一个不大于4C．都小于4D．至少有一个不小于4【答案】D【解析】依题意，令，则三个数为，排除选项.故选. 9.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。这部专著中有部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这部名著中选择部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为()A.B.C.D.【解析】（方法一）从部名著中选择部名著的方法数为（种），2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），只有部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），于是事件“所选两部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著”的概率.故选A.（方法二）从部名著中选择部名著的方法数为（种），部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），由对立事件的概率计算公式得.故选A.10.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教,每地至少1人,其中甲和乙一定不同地,甲和丙必须同地,则不同的选派方案共有()种　A.27B.30C.33D.3610．B【解析】共有种方案．11．过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为，则双曲线的离心率e的值是(　　)A.B.C.D.【解析】　据题意知椭圆通径长为a，故有＝a⇒a2＝4b2⇒＝，故相应双曲线的离心率e＝＝＝.【答案】　B12．如果对定义在上的函数，对任意，都有则称函数为“函数”.给出下列函数: ①；②；③；④.其中函数是“函数”的个数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：由已知得，，即，故在定义域内单调递增.,其值不恒为正，故①不满足；，故②满足；，③满足；由分段函数的图象，④不满足.考点：1、函数单调性的定义；2、利用导数判断函数的单调性；3、分段函数.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把正确答案填在答题卡中横线上）13.已知平面向量与的夹角为，，，则.214．若展开式中的系数为，则__________．15.曲线与直线及轴所围成的图形的面积是________．16.在“家电下乡”活动中，某厂要将至少100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为元16.设甲型货车需要辆，乙型货车需要辆，由题意得不等式组作出可行域，可知，当直线过点时，三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）如图，梯形ABCD中，.(Ⅰ)若求AC的长；(Ⅱ)若，求的面积. 解：（Ⅰ）因为，所以为钝角，且，，……2分因为，所以.在中，由，解得.…5分（Ⅱ）因为，所以，故，.…………6分在中，，整理得，解得，…………8分所以.………10分18．（本题满分12分）设，数列的前项和为，已知，成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.解：（Ⅰ）由得：…………………1分所以数列是以为首项，为公差的等差数列……………………………………3分由成等比数列.即解得…………………………4分所以，………………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，……………………………6分所以，即①.…………………………………8分②.……………………………10分①—②可得， 所以.…………………………………………………………12分19.(本小题满分12分)为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为，求的分布列和数学期望E．19解：(1)设事件A表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，其中只有一个优秀成绩”……3分（2）的所有可能取值为0，1，2，3……4分，……8分的分布列为0123……10分的数学期望为……12分20．（本题满分12分）如图，是平行四边形，已知，,平面平面.（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值. 解析：（Ⅰ）∵是平行四边形，且∴，故，即（1分）取BC的中点F，连结EF，∵，∴（2分）又∵平面平面，∴平面（3分）∵平面，∴（4分）∵平面，∴平面，（5分）∵平面，∴（6分）（Ⅱ）∵,由（Ⅰ）得（7分）以B为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则∴（8分）设平面的法向量为，则，即得平面的一个法向量为（10分）由（Ⅰ）知平面，所以可设平面的法向量为（11分）设平面与平面所成二面角的平面角为，则即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.（12分） 21、已知椭圆的两焦点为，，离心率.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线，若与此椭圆相交于，两点，且等于椭圆的短轴长，求的值；（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.21.解：（1）设椭圆方程为，则，，所求椭圆方程为.--------------------------------------4分（2）由，消去y，得，则得（*）设，则，，，解得.，满足（*）-----------------------------8分（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC 不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为（不妨设k<0），则BC边所在直线的方程为，由，得A用代替上式中的k，得，由，得k<0，解得：或，故存在三个内接等腰直角三角形.----1２分22．（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．（Ⅰ）求的解析式及单调减区间；（Ⅱ）若函数无零点，求的取值范围．22．解：(Ⅰ)，………………1分又由题意有：，故.……3分此时，，由或，所以函数的单调减区间为和.………………5分（说明：减区间写为的扣2分.）(Ⅱ)，且定义域为，要函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解.………………6分构造函数.①当时，在内恒成立，所以函数在内单调递减，在内也单调递减.又，所以在内无零点，在内也无零点，故满足条件；………………8分②当时，⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在 内单调递增.又，所以在内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；⑵若，则函数在内单调递减，在内单调递增.又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件；……10分⑶若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递增.又，所以在及内均无零点.又易知，而，又易证当时，，所以函数在内有一零点，故不满足条件.…………11分综上可得：的取值范围为：或.…………12分（说明：在(Ⅱ)的解答中，若分离变量，再讨论函数的单调性获得给４分）深圳高级中学（集团）xx第二学期期中测试高二数学（理）答案一、选择题123456789101112BCDCADADABBB1．B2.C【解析】3．D【解析】两式相减得，从而求得.4．C【解析】（1）甲在前，乙在后：若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，共种方法.（2）同理，乙在前，甲在后，也有种方法.故一共有种方法.5．A【解析】该几何体是棱长为2的正方体截去一个三棱锥 后所得的多面体，其体积为6.D7．A【解析】由程序框图可知：…………∴周期为3，由，得输出的结果为．8．D【解析】依题意，令，则三个数为4,4,4;令，则三个数为5,5,5，排除选项.故选.9.A.10.B【解析】共有种方案．11．　B【解析】　据题意知椭圆通径长为a，故有＝a⇒a2＝4b2⇒＝，故相应双曲线的离心率e＝＝＝.12．B【解析】试题分析：由已知得，，即，故在定义域内单调递增.,其值不恒为正，故①不满足；，故②满足；，③满足；由分段函数的图象，④不满足.二、填空题13.214．15.16.220016..设甲型货车需要辆，乙型货车需要辆，由题意得不等式组作出可行域，可知，当直线过点时， 三、解答题17．解：（Ⅰ）因为，所以为钝角，且，，……2分因为，所以.在中，由，解得.…5分（Ⅱ）因为，所以，故，.…………6分在中，，整理得，解得，…………8分所以.………10分18．解：（Ⅰ）由得：…………………1分所以数列是以为首项，为公差的等差数列……………………………………3分由成等比数列.即解得…………………………4分所以，………………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，……………………………6分所以，即①.…………………………………8分②.……………………………10分①—②可得，所以.…………………………………………………………12分19.解：(1)设事件A表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，其中只有一个优秀成绩”……3分（2）的所有可能取值为0，1，2，3……4分 ，……8分的分布列为0123……10分的数学期望为……12分20．解析：（Ⅰ）∵是平行四边形，且∴，故，即取BC的中点F，连结EF，∵，∴又∵平面平面，∴平面∵平面，∴∵平面，∴平面，∵平面，∴-------6分（Ⅱ）∵,由（Ⅰ）得以B为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则∴设平面的法向量为，则，即得平面的一个法向量为由（Ⅰ）知平面，所以可设平面的法向量为 设平面与平面所成二面角的平面角为，则即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.-------12分21、.解：（1）设椭圆方程为，则，，所求椭圆方程为.--------------------------------------4分（2）由，消去y，得，则得（*）设，则，，，解得.，满足（*）-----------------------------8分（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为（不妨设k<0），则BC 边所在直线的方程为，由，得A用代替上式中的k，得，由，得k<0，解得：或，故存在三个内接等腰直角三角形.----1２分22．解：(Ⅰ)，………………1分又由题意有：，故.……3分此时，，由或，所以函数的单调减区间为和.………………5分（说明：减区间写为的扣2分.）(Ⅱ)，且定义域为，要函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解.………………6分构造函数.①当时，在内恒成立，所以函数在内单调递减，在内也单调递减.又，所以在内无零点，在内也无零点，故满足条件；………………8分②当时，⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增.又，所以在内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；⑵若，则函数在内单调递减，在内单调递增.又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件；……10分⑶若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在 内也单调递增.又，所以在及内均无零点.又易知，而，又易证当时，，所以函数在内有一零点，故不满足条件.…………11分综上可得：的取值范围为：或.…………12分（说明：在(Ⅱ)的解答中，若分离变量，再讨论函数的单调性获得给3分）