江苏省2019高考数学二轮复习 专题六 数列 规范答题示例5 数列的综合问题学案

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1、规范答题示例5　数列的综合问题典例5　(16分)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a，(an＋1)(an＋1＋1)＝6(Sn＋n)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若对任意的n∈N*，都有Sn≤n(3n＋1)，求实数a的取值范围；(3)当a＝2时，将数列{an}中的部分项按原来的顺序构成数列{bn}，且b1＝a2，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{bn}．审题路线图　(1)→→(2)→→→(3)→→规范解答·分步得分构建答题模板(1)解　当n＝1时，(a1＋1)(a2＋1)＝6(S1＋1)，故a2＝5；当n≥2时，

2、(an－1＋1)(an＋1)＝6(Sn－1＋n－1)，所以(an＋1)(an＋1＋1)－(an－1＋1)(an＋1)＝6(Sn＋n)－6(Sn－1＋n－1)，即(an＋1)(an＋1－an－1)＝6(an＋1)．又an＞0，所以an＋1－an－1＝6，3分所以a2k－1＝a＋6(k－1)＝6k＋a－6，a2k＝5＋6(k－1)＝6k－1，k∈N*，故数列{an}的通项公式为an＝5分(2)解　当n为奇数时，n＋1为偶数，所以an＝3n＋a－3，an＋1＝3n＋2，所以(3n＋a－3＋1)(3n＋2＋1)＝6(Sn＋n)，整理得Sn＝(3n＋a－2)(n＋1)

3、－n.由Sn≤n(3n＋1)，得a≤对n∈N*恒成立．令f(n)＝(n∈N*)，则f(n＋1)－f(n)＝＞0，第一步找关系，求通项：根据已知条件确定数列的项之间的关系．第二步巧转化，定方法：根据要证式子或所求结论的结构，进行适当转化，如对数列求和，将数列函数化讨论数列的性质等确定解题方法．第三步所以f(n)＝(n∈N*)单调递增，f(n)min＝f(1)＝＝4，所以a≤4.8分当n为偶数时，n＋1为奇数，an＝3n－1，an＋1＝3n＋a，所以(3n－1＋1)(3n＋a＋1)＝6(Sn＋n)，整理得Sn＝，由Sn≤n(3n＋1)得，a≤3(n＋1)对n∈N

4、*恒成立，所以a≤9.又a1＝a＞0，所以实数a的取值范围是(0,4].10分(3)解　当a＝2时，若n为奇数，则an＝3n－1，所以an＝3n－1(n∈N*)．因为数列{bn}的首项是b1＝5，其整数倍的最小项是a7＝20，故可令等比数列{bn}的公比q＝4m(m∈N*)，因为b1＝a2＝5，所以bn＝5·4m(n－1)．设k＝m(n－1)，因为1＋4＋42＋…＋4k－1＝，所以4k＝3(1＋4＋42＋…＋4k－1)＋1，所以5·4k＝5[3(1＋4＋42＋…＋4k－1)＋1]＝3[5(1＋4＋42＋…＋4k－1)＋2]－1.14分因为5(1＋4＋42＋…

5、＋4k－1)＋2为正整数，所以数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列．又公比q＝4m(m∈N*)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{bn}有无数个.16分写步骤，再反思：确定解题方案后要认真规范书写解题步骤，数列综合问题一般为压轴题，难度较大，要有抢分意识，不放过任何一个得分点.评分细则　(1)求出an的递推公式给3分；(2)求出{an}的通项公式给2分；(3)讨论n为奇数的情况给3分；(4)讨论n为偶数的情况给2分；(5)求出{bn}的通项公式给4分；(6)证明出最后结果给2分．跟踪演练5　(2018·南通、徐州等六市调研)设

6、等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1,b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d≠0.记ci＝ai＋bi(i＝1,2,3,4)．(1)求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；(2)设a1＝1，q＝2.若数列c1,c2,c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3)数列c1,c2,c3，c4能否为等比数列？并说明理由．(1)证明　假设数列c1，c2，c3是等差数列，则2c2＝c1＋c3，即2＝＋.因为b1，b2，b3是等差数列，所以2b2＝b1＋b3.从而2a2＝a1＋a3.又因为a1，a2，a3是等比数列，所以a＝a1a3.所以a

7、1＝a2＝a3，这与q≠1矛盾，从而假设不成立．所以数列c1，c2，c3不是等差数列．(2)解　因为a1＝1,q＝2，所以an＝2n－1.因为c＝c1c3，所以2＝，即b2＝d2＋3d,由c2＝2＋b2≠0，得d2＋3d＋2≠0，所以d≠－1且d≠－2.又d≠0，所以b2＝d2＋3d，定义域为.(3)解　设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，则则将①＋③－2×②得，a1(q－1)2＝c1(q1－1)2，⑤将②＋④－2×③得，a1q2＝c1q12，⑥因为a1≠0,q≠1，由⑤得c1≠0,q1≠1.由⑤⑥得q＝q1，从而a1＝c1.代入①得b1＝0.

8、再代入②，得d＝0，与d≠0矛盾．所以c1，c2，c