江苏省2019高考数学二轮复习 专题六 数列 第2讲 数列的综合问题学案

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1、第2讲 数列的综合问题[考情考向分析] 江苏高考中,数列大题常在压轴的代数论证中考数列的综合应用.近几年江苏高考中数列解答题总是同等差、等比数列相关,进一步考查其子数列或派生数列的性质等,所以解题过程中既有等差、等比数列性质的挖掘,又有等差、等比数列的判断论证,综合性极强.热点一 数列中的探索性问题例1 (2018·无锡期末)已知数列满足…=,n∈N*,Sn是数列的前n项和.(1)求数列的通项公式;(2)若ap,30,Sq成等差数列,ap,18,Sq成等比数列,求正整数p,q的值;(3)是否存在k∈N*,使得为数列中的项?若存在,求出所有

2、满足条件的k的值;若不存在,请说明理由.解 (1)因为…=,n∈N*,所以当n=1时,1-=,a1=2,当n≥2时,由…=和…=,两式相除可得,1-=,即an-an-1=1(n≥2).所以数列是首项为2,公差为1的等差数列.所以an=n+1(n∈N*).(2)因为ap,30,Sq成等差数列,ap,18,Sq成等比数列,所以于是或当时,解得当时,无正整数解,所以p=5,q=9.(3)假设存在满足条件的正整数k,使得=am(m∈N*),则=m+1,平方并化简得,(2m+2)2-(2k+3)2=63,则(2m+2k+5)(2m-2k-1)=63

3、,所以或或解得m=15,k=14,或m=5,k=3,或m=3,k=-1(舍去),综上所述,k=3或14.思维升华 数列中的探索性问题是江苏高考的一个热点,试题一般是探求数列中项的存在性问题,此类试题的解法一般具有以下特点:假设提出的问题存在,结合数论中不定方程、奇偶性的基本性质进行求解.跟踪演练1 已知数列{an}中,a1=1,a2=a,且an+1=k(an+an+2)对任意正整数n都成立,数列{an}的前n项和为Sn.(1)是否存在实数k,使数列{an}是公比不为1的等比数列,且任意相邻三项am,am+1,am+2按某顺序排列后成等差数

4、列?若存在,求出所有k的值;若不存在,说明理由;(2)若k=-,求Sn.解 (1)设数列{an}是等比数列,则它的公比q==a,所以am=am-1,am+1=am,am+2=am+1.①若am+1为等差中项,则2am+1=am+am+2,即2am=am-1+am+1,解得a=1,不合题意;②若am为等差中项,则2am=am+1+am+2,即2am-1=am+am+1,化简得a2+a-2=0,解得a=-2或1(舍).当a=-2时,k====-;③若am+2为等差中项,则2am+2=am+1+am,即2am+1=am+am-1,化简得2a2-

5、a-1=0,解得a=-或1(舍).当a=-时,k====-.综上可得满足要求的实数k有且仅有一个,即k=-.(2)若k=-,则an+1=-(an+an+2),于是an+2+an+1=-(an+1+an),所以an+3+an+2=-(an+2+an+1)=an+1+an.当n是偶数时,Sn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+an=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)=(a1+a2)=(a+1);当n是奇数时,Sn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+an=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an)=

6、a1+(a2+a3)=a1+[-(a1+a2)]=1-(a+1).当n=1时也适合上式.综上可得Sn=热点二 数列中的证明问题例2 (2018·江苏黄桥中学等三校联考)已知数列满足a1=1,前n项和为Sn,且=.(1)求a2的值;(2)设bn=,证明:数列是等差数列;(3)设cn=·an,若1≤λ≤,求对所有的正整数n都有2λ2-kλ+3

7、-=2,即-=1,即bn+1-bn=1,所以数列是公差为1的等差数列.(3)解 由(2)知,b1==,所以数列的通项公式为bn=n-.因为=n-,所以=+1=,所以=,所以数列是常数列.由=1,所以an=2n-1(n∈N*).所以cn=·an=·=·2n·.因为cn+1-cn==·2n·>0,所以数列为单调递增数列.当n≥1时,cn≥c1=,即cn的最小值为.由2λ2-kλ+3<cn,得kλ>2λ2+2,所以k>2max,而当1≤λ≤时,λ+在上递减,上递增,所以max=1+,当且仅当λ=1或时取得,故k∈.思维升华 数列中的证明问题要有

8、目标意识,比如本题第二问要证明{bn}是等差数列,就要构造出式子bn+1-bn=-,然后代入条件进行证明,为证明问题提供思路.跟踪演练2 设数列{an}是各项均为正数的等比数列,其前n项和为S

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