江苏省2019高考数学二轮复习 专题六 数列 第2讲 数列的综合问题学案

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1、第2讲　数列的综合问题[考情考向分析]　江苏高考中，数列大题常在压轴的代数论证中考数列的综合应用．近几年江苏高考中数列解答题总是同等差、等比数列相关，进一步考查其子数列或派生数列的性质等，所以解题过程中既有等差、等比数列性质的挖掘，又有等差、等比数列的判断论证，综合性极强．热点一　数列中的探索性问题例1　(2018·无锡期末)已知数列满足…＝，n∈N*，Sn是数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)若ap,30，Sq成等差数列，ap,18，Sq成等比数列，求正整数p，q的值；(3)是否存在k∈N*，使得为数列中的项？若存在，求出所有

2、满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．解　(1)因为…＝，n∈N*，所以当n＝1时，1－＝，a1＝2，当n≥2时，由…＝和…＝，两式相除可得，1－＝，即an－an－1＝1(n≥2)．所以数列是首项为2，公差为1的等差数列．所以an＝n＋1(n∈N*)．(2)因为ap,30，Sq成等差数列，ap,18，Sq成等比数列，所以于是或当时，解得当时，无正整数解，所以p＝5，q＝9.(3)假设存在满足条件的正整数k，使得＝am(m∈N*)，则＝m＋1，平方并化简得，(2m＋2)2－(2k＋3)2＝63，则(2m＋2k＋5)(2m－2k－1)＝63

3、，所以或或解得m＝15，k＝14，或m＝5，k＝3，或m＝3，k＝－1(舍去)，综上所述，k＝3或14.思维升华　数列中的探索性问题是江苏高考的一个热点，试题一般是探求数列中项的存在性问题，此类试题的解法一般具有以下特点：假设提出的问题存在，结合数论中不定方程、奇偶性的基本性质进行求解．跟踪演练1　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝a，且an＋1＝k(an＋an＋2)对任意正整数n都成立，数列{an}的前n项和为Sn.(1)是否存在实数k，使数列{an}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项am，am＋1，am＋2按某顺序排列后成等差数

4、列？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由；(2)若k＝－，求Sn.解　(1)设数列{an}是等比数列，则它的公比q＝＝a，所以am＝am－1，am＋1＝am，am＋2＝am＋1.①若am＋1为等差中项，则2am＋1＝am＋am＋2，即2am＝am－1＋am＋1，解得a＝1，不合题意；②若am为等差中项，则2am＝am＋1＋am＋2，即2am－1＝am＋am＋1，化简得a2＋a－2＝0，解得a＝－2或1(舍)．当a＝－2时，k＝＝＝＝－；③若am＋2为等差中项，则2am＋2＝am＋1＋am，即2am＋1＝am＋am－1，化简得2a2－

5、a－1＝0，解得a＝－或1(舍)．当a＝－时，k＝＝＝＝－.综上可得满足要求的实数k有且仅有一个，即k＝－.(2)若k＝－，则an＋1＝－(an＋an＋2)，于是an＋2＋an＋1＝－(an＋1＋an)，所以an＋3＋an＋2＝－(an＋2＋an＋1)＝an＋1＋an.当n是偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝(a1＋a2)＝(a＋1)；当n是奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1＋an＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝

6、a1＋(a2＋a3)＝a1＋[－(a1＋a2)]＝1－(a＋1)．当n＝1时也适合上式．综上可得Sn＝热点二　数列中的证明问题例2　(2018·江苏黄桥中学等三校联考)已知数列满足a1＝1，前n项和为Sn，且＝.(1)求a2的值；(2)设bn＝，证明：数列是等差数列；(3)设cn＝·an，若1≤λ≤，求对所有的正整数n都有2λ2－kλ＋3

7、－＝2，即－＝1，即bn＋1－bn＝1，所以数列是公差为1的等差数列．(3)解　由(2)知，b1＝＝，所以数列的通项公式为bn＝n－.因为＝n－，所以＝＋1＝，所以＝，所以数列是常数列.由＝1，所以an＝2n－1(n∈N*)．所以cn＝·an＝·＝·2n·.因为cn＋1－cn＝＝·2n·>0，所以数列为单调递增数列．当n≥1时，cn≥c1＝，即cn的最小值为.由2λ2－kλ＋3＜cn，得kλ＞2λ2＋2，所以k>2max，而当1≤λ≤时，λ＋在上递减，上递增，所以max＝1＋，当且仅当λ＝1或时取得，故k∈.思维升华　数列中的证明问题要有

8、目标意识，比如本题第二问要证明{bn}是等差数列，就要构造出式子bn＋1－bn＝－，然后代入条件进行证明，为证明问题提供思路．跟踪演练2　设数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S