新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项和讲义含解析

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1、第二节　等差数列及其前n项和突破点一　等差数列的基本运算1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对

2、任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√二、填空题1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________．答案：32．在等差数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为________．答案：143．已知{an}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是________．答案：44．在等差数列{an}中，已知d＝2，S100＝10000

3、，则Sn＝________.答案：n21．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)A．－12　　　　　　　B．－10C．10D．12解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2019·山东五校联考)已知等差数列{an}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)设

4、等差数列{an}的公差为d，d>0，∵等差数列{an}的前3项的和为－3，前3项的积为8，∴∴或∵d>0，∴a1＝－4，d＝3，∴an＝3n－7.(2)∵an＝3n－7，∴a1＝3－7＝－4，∴Sn＝＝.解决等差数列基本量计算问题的思路(1)在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可．(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝＝na1＋d，在两个公式中共涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量

5、．1．已知数列是等差数列，且a3＝2，a9＝12，则a15＝(　　)A．10B．30C．40D．20解析：选B　法一：设数列是公差为d的等差数列，∵a3＝2，a9＝12，∴6d＝－＝－＝，∴d＝，＝＋12d＝2.故a15＝30.法二：由于数列是等差数列，故2×＝＋，即＝2×－＝2，故a15＝30.2．(2018·信阳二模)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量

6、单位)，在这个问题中，甲得________钱．(　　)A.B．C.D．解析：选C　甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1，a2，a3，a4，a5，设公差为d，由题意知a1＋a2＝a3＋a4＋a5＝，即解得故甲得钱，故选C.3．(2018·菏泽二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，满足a1＋a2＝10，S5＝40.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝

7、13－an

8、，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10，S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8，所以所以an＝4＋(n－1

9、)·2＝2n＋2.(2)令cn＝13－an＝11－2n，bn＝

10、cn

11、＝

12、11－2n

13、＝设数列{cn}的前n项和为Qn，则Qn＝－n2＋10n.当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n.当n≥6时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋10×5)＝n2－10n＋50.突破点二　等差数列的性质及应用等差数列的常用性质(1)通