（天津专用）2020版高考数学大一轮复习 9.6 直线与圆锥曲线的位置关系精练

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1、9.6　直线与圆锥曲线的位置关系挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.直线与圆锥曲线的位置关系1.会用代数法和数形结合法判断直线与椭圆、抛物线的位置关系2.根据所学知识熟练解决直线与椭圆、抛物线位置关系的综合问题2018天津,19直线与椭圆的位置关系三角函数★★★2017天津文,20椭圆的几何性质2015天津文,19直线方程2.弦长公式的应用2018北京文,20求弦长的最值直线与椭圆的位置关系★☆☆3.弦中点问题2018课标Ⅲ,20弦中点相关问题向量的运算★☆☆分析解读　　从天津

2、高考试题来看,本节内容一直是高考的热点,直线与椭圆以及抛物线的位置关系、圆锥曲线中的弦长、弦的中点等问题考查比较频繁,常与向量、圆等知识结合考查,解题基本策略有:(1)巧设直线方程;(2)注意整体代换思想的应用,利用根与系数的关系设而不求.炼技法【方法集训】方法1　圆锥曲线中弦长的求法1.过椭圆x24+y2=1的右焦点作互相垂直的两条直线,分别交椭圆于A,B,C,D四点,则四边形ABCD面积S的最大值与最小值之差为(　　)A.1725　　　　B.1825　　　　C.1925　　　　D.45答案　B　2.(201

3、6课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆E:x2t+y23=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,

4、AM

5、=

6、AN

7、时,求△AMN的面积;(2)当2

8、AM

9、=

10、AN

11、时,求k的取值范围.解析　(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,E的方程为x24+y23=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为π4.因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0.解得y=0或y

12、=127,所以y1=127.因此△AMN的面积S△AMN=2×12×127×127=14449.(2)设M(x1,y1),由题意,t>3,k>0,A(-t,0).将直线AM的方程y=k(x+t)代入x2t+y23=1得(3+tk2)x2+2t·tk2x+t2k2-3t=0.由x1·(-t)=t2k2-3t3+tk2得x1=t(3-tk2)3+tk2,故

13、AM

14、=

15、x1+t

16、1+k2=6t(1+k2)3+tk2.由题设,直线AN的方程为y=-1k(x+t),故同理可得

17、AN

18、=6kt(1+k2)3k2+t.由2

19、

20、AM

21、=

22、AN

23、得23+tk2=k3k2+t,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=32时上式不成立,因此t=3k(2k-1)k3-2.t>3等价于k3-2k2+k-2k3-2=(k-2)(k2+1)k3-2<0,即k-2k3-2<0.由此得k-2>0,k3-2<0或k-2<0,k3-2>0,解得32

24、AM

25、=

26、AN

27、得出t与k的关系式,由t>3,建立关于k的不等式,从而得出k的取值范围.评

28、析本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系以及方程的思想方法的应用,考查学生的运算求解能力及逻辑思维能力.注意题目中t>3这一隐含条件,是把等式转化为不等式的关键.方法2　圆锥曲线中弦中点问题的求法3.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(　　)A.x245+y236=1　　　　B.x236+y227=1　　　　C.x227+y218=1　　　　D.x218+y29=1答案　D　过专题【五年高考

29、】A组　自主命题·天津卷题组1.(2018天津,19,14分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为53,点A的坐标为(b,0),且

30、FB

31、·

32、AB

33、=62.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若

34、AQ

35、

36、PQ

37、=524sin∠AOQ(O为原点),求k的值.解析　(1)设椭圆的焦距为2c,由已知得c2a2=59,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,

38、FB

39、=a,

40、AB

41、=2b,由

42、

43、FB

44、·

45、AB

46、=62,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为x29+y24=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故

47、PQ

48、sin∠AOQ=y1-y2.又因为

49、AQ

50、=y2sin∠OAB,而∠OAB=π4,故

51、AQ

52、=2y2.由

53、AQ

54、

55、PQ

56、=524sin∠AOQ,可得5y1=9y2.由方程组y=kx,x29+y2