2019-2020年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用课时1导数与函数的单调性文

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1、2019-2020年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用课时1导数与函数的单调性文题型一　不含参数的函数的单调性例1　求函数f(x)＝的单调区间．解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝，所以f′(x)＝.当f′(x)>0，即0e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．思维升华　确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式

2、f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．　已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是________________．答案　和解析　f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx．令f′(x)＝xcosx≥0，则其在区间(－π，π)上的解集为和，即f(x)的单调递增区间为和.题型二　含参数的函数的单调性例2已知函数f(x)＝lnx＋ax＋－1.(1)当a＝1时，求曲线y＝f

3、(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当－≤a≤0时，讨论f(x)的单调性．解　(1)当a＝1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，此时f′(x)＝＋1－，f′(2)＝＋1－＝1.又因为f(2)＝ln2＋2＋－1＝ln2＋2，所以切线方程为y－(ln2＋2)＝x－2，整理得x－y＋ln2＝0.(2)f′(x)＝＋a－＝＝.当a＝0时，f′(x)＝.此时，在(0,1)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(1，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．当－≤a<0时，f′(x)＝.当－＝1，即a＝－时，

4、f′(x)＝－≤0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当－1，此时在(0,1)或上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在上，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上，当a＝0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当－

5、内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．　讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性．解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③当0

6、)<0；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0,)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．题型三　利用函数单调性求参数例3　设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．解　(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得即(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)

7、，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，即x∈(－2，－1)时，a<(x＋)max＝－2，当且仅当x＝即x＝－时等号成立．所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－2)．引申探究　在本例3(3)中，1．若g(x)在(－2，－1)内为减函数，如何求

8、解？解　方法一　∵g′(x)＝x2－ax＋2，且g(x)在(－2，－1)内为减函数，∴g′(x)≤0，即x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，∴即解之得a≤－3，即实数a的取值范围为(－∞，－3]．方法二　∵g′(x)＝x2－ax＋2，由题意可得g′(x)≤0在(－2，－1)上恒成立，即a≤x＋在(－2，－1)上恒成立，又y＝x＋，x∈(－2，－1)的值域为(－3，－2]，∴a≤－3，∴实数a的取值范围是(