2018版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第1课时 导数与函数的单调性 理

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1、第三章导数及其应用3.2导数的应用第1课时导数与函数的单调性理1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程

2、f′(x)＝0的根；③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的

3、最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【知识拓展】1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有15f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．3.对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必

4、要不充分条件．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　×　)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　√　)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(　√　)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　×　)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　√　)(6)三次函数在R上必有极大值和极小值．(　×　)1．(教材改编)f(x)＝x3－6x2的单

5、调递减区间为(　　)A．(0,4)B．(0,2)C．(4，＋∞)D．(－∞，0)答案　A解析　f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得0

6、3)上也不是单调函数；在x＝2的左侧，函数在(－，2)上是增函数，在x＝2的右侧，函数在(2,4)上是减函数，所以当x＝2时，f(x)取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数在这个区间上为增函数．153．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为(　　)A．(1，＋∞)B．(－∞，－1)C．(－1,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案　A解析　令g(x)＝f(x)－2x－1，∴g′(x)＝f′(x)－2<0，∴g(x)

7、在R上为减函数，g(1)＝f(1)－2－1＝0.由g(x)<0＝g(1)，得x>1，故选A.4．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．答案　－解析　f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－.5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．答案　(－∞，－1)解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程

8、y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.第1课时　导数与函数的单调性题型一　不含参数的函数的单调性例1　(1)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为(　　)