2019-2020年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.2函数的单调性与最值理

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1、2019-2020年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.2函数的单调性与最值理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或

2、单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得条件对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x2”．(　×　)(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－

3、x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(　√　)(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　)(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)(5)所有的单调函数都有最值．(　×　)(6)对于函数y＝f(x)，若f(1)

4、_．答案　①解析　①中，函数y＝在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；②中，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；③中，函数y＝2－x＝()x在R上为减函数，故错误；④中，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．2．若函数f(x)＝

5、2x＋a

6、的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．答案　－6解析　由图象易知函数f(x)＝

7、2x＋a

8、的单调增区间是[－，＋∞)，令－＝3，∴a＝－6.3．设函数

9、y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)＝________.答案　解析　∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1.当－2≤a<1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.综上，g(a)＝4．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．答案　2　解析　可判断函数f(x)＝在

10、[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.5．(教材改编)已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________．答案　(－∞，1]∪[2，＋∞)解析　函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此

11、要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞).题型一　确定函数的单调性(区间)命题点1　给出具体解析式的函数的单调性例1　(1)下列函数中，①y＝ln(x＋2)；②y＝－；③y＝()x；④y＝x＋，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________．(2)函数的单调递增区间是____________．(3)函数y＝－x2＋2

12、x

13、＋3的单调增区间为_________________________________________．答案　(1)①　(2)(－

14、∞，－2)　(3)(－∞，－1]，[0,1]解析　(1)y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，∴在区间(0，＋∞)上为增函数．(2)因为在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．(3)由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次