浙江专版2018-2019高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算学案新人教A版选修2

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1、3.1.3　空间向量的数量积运算学习目标　1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.3.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用．知识点一　空间向量的夹角思考　〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？答案　〈a，b〉与〈b，a〉分别表示向量a，b与b，a的夹角，根据空间向量夹角的定义知〈a，b〉与〈b，a〉相等．梳理　(1)如图所示，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)a，b为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a

2、与b的夹角的范围是[0，π]，其中当〈a，b〉＝0时，a与b方向相同；当〈a，b〉＝π时，a与b方向相反；当〈a，b〉＝时，a与b互相垂直．反之，若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；若a⊥b，则〈a，b〉＝.知识点二　数量积的概念及运算律1．已知两个非零向量a，b，则

3、a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cos〈a，b〉．2．空间向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)

11、a

12、2＝a·a，

13、a

14、＝.(3)cos〈a，b〉＝.3．空间向量数量积的运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)．(

15、2)a·b＝b·a(交换律)．(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．(1)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(×)(2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(3)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝

16、a

17、

18、b

19、.(√)(4)对任意向量a，b，满足

20、a·b

21、≤

22、a

23、

24、b

25、.(√)类型一　数量积的计算例1　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.考点　

26、空间向量数量积的概念及性质题点　用定义求数量积解　(1)·＝·＝

27、

28、

29、

30、·cos〈，〉＝cos60°＝.(2)·＝·＝

31、

32、2＝.(3)·＝·＝

33、

34、·

35、

36、cos〈，〉＝cos120°＝－.(4)·＝·(－)＝·－·＝

37、

38、

39、

40、cos〈，〉－

41、

42、

43、

44、cos〈，〉＝cos60°－cos60°＝0.反思与感悟　(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝

45、a

46、2及数量积公式进行计算．跟踪训练1　已知长方体ABCD－A1B1C

47、1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：(1)·；(2)·；(3)·.考点　空间向量数量积的概念及性质题点　用定义求数量积解　如图，设＝a，＝b，＝c，则

48、a

49、＝

50、c

51、＝2，

52、b

53、＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝b·＝

54、b

55、2＝42＝16.(2)·＝·(a＋c)＝

56、c

57、2－

58、a

59、2＝22－22＝0.(3)·＝·＝(－a＋b＋c)·＝－

60、a

61、2＋

62、b

63、2＝2.类型二　利用数量积证明垂直问题例2　(1)已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系

64、为_______．(填“平行”或“垂直”)考点　空间向量数量积的应用题点　数量积的综合应用答案　垂直解析　∵·＝(＋)·(－)＝·＋·－2－·＝·(－－)＝·＝0，∴AD与BC垂直．(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.考点　空间向量数量积的应用题点　数量积的综合应用证明　设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，

65、a

66、＝

67、b

68、＝

69、c

70、.∵＝＋＝＋(＋)＝c＋a＋b，＝－＝b－a，＝＋＝(＋)＋＝a＋b－c∴·＝·(b－a)＝c·b－

71、c·a＋a·b－a2＋b2－b·a＝(b2－a2)＝(

72、b

73、2－

74、a

75、2)＝0.于是⊥，即A1O⊥BD.同理可证⊥，即A1O⊥OG.又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面CBD，∴A1O⊥平面GBD.反思与感悟　(1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训练2　如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA

76、⊥BC.考点　空间向量数量积的应用题点　数量积的综合应用证明　因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OAB，所以∠AOC＝∠AOB.又·＝·(－)＝·－·＝

77、

78、·

79、

80、cos∠AOC－

81、

82、·

83、

84、cos∠AOB＝0，所以⊥，即OA⊥B