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1、第9章空间图形认识初步赛点突破我们所在的世界，是一个丰富多彩的图形世界.概括起来，图形可以分为立体图形和平面图形.对于立体图形的问题，我们要逐步学会将它们转化成平面图形的问题来解决，它包括：1．展开与折叠将一个立体图形的表面展开，就得到了一个平面图形；反过来，将一个平面图形折叠起来，就得到一个立体图形。我们既要会将一个立体图形展开得到它的各个面，也要会将一个平面图形折叠起来，想象出它的立体形状。2．立体的切割用一个平面去切割立体图形，会得到不同的形状的平面图形。此外，将一个立体图形按不同的要求分割成一些小的立体图形，也是我们要探讨的内容。3．从不同方向看从不同的方向看一个立体
2、图形，看到的形状是不相同的.我们既要会从一个给定的立体图形想象出从不同方向看它时的不同形状；也要会从不同方向看它时的不同形状（三视图）想象出这个几何图形来.范例解密例1如图,在正方体的展开图上编号,请你写出相对面的号码：3的相对面是________,4的相对面是________,5的相对面是________.分析与解：想象将这个展开图折叠起来：先选择写有3的面为正面，则折叠后写有2的面为上面，写有4的面为左面，写有1的面为右面，写有2的面为下面，写有6的面为后面。故3相对面是6；4的相对面是1，5的相对面是2。.说明1.此类将平面图形折叠成立体图形的问题，建议同学们在解答时先
3、做一个模型，实际地折叠一下。这对培养自己的空间想象能力，是十分有益的。2.正方体的展开图，一共有11种不同的情况。请大家试着画一画。例2（第一届华罗庚金杯少年数学邀请赛试题）如下图所示，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）.这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？解：从展开图可以看出，粘合后的多面体有12个正方形和8个三角形，共20个面. 这个多面体上部的中间是一个正三角形，这个正三角形的三边与三个正方形相连，这样上部共有9个顶点，下部也一样.因此，多面体的顶点总数为9×2=18（个）. 在20个面的边中，虚线有19条，实线有34条.因为每条虚
4、线表示一条棱，两条实线表示一条棱，所以多面体的总棱数为 19＋34÷2=36（条）.综上所述，多面体的面数、顶点数和棱数之和为20+18＋36＝74.说明：关于多面体的顶点数（V），棱数（E），面数（F），数学家欧拉曾给出一个公式（欧拉公式）：V＋F-E＝2.根据欧拉公式，知道上例多面体的面数和顶点数之后，棱数便可求得：E=V＋F-2=20＋18-2=36（条）.7/7例3左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面，其中P，Q分别是EF，FG的中点.请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边.分析与解：把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形
5、APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出.（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体图形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图.（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面.顶点：P在EF边上，Q在GF边上.边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上.（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线.需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面.连好线的图形如右上
6、图.例4用一个平面去截一个正方体，可以得到几边形？解：两个平面相交，有且仅有一条交线，所以最多只能得到六边形.如下图，可得到三角形、四边形、五边形和六边形.例5（1997年安徽省初中数学竞赛试题）设计一种方法，把一个立方体分割成55个小立方体（分得的立方体大小可以不相同）.解：把立方体分割成33=27个立方体，再把其中4个各分成23=8个立方体，共27-4+4×8=55个立方体.评注：对于本题，现在有下列一般的结论：一个立方体可以分割成n个立方体，这里n=1,28,15,20,22,27,29,34,36,38,39,41,43,45,46及大于47的整数。一个立方体能否分割
7、成47个立方体，这还是一个没有解决的问题.例6（1992年第二届“勤奋杯”数学邀请赛初中一年级试题）如图,将三个同样的正方体重叠放在不透明的桌面上,每个正方体的六个在上分别写有1,2,3,4,5,6,并且相对的两个面上的数字之和是7,现在有5个面上的数字不论从哪个角度都看不到,这5个看不到的面上的数字的乘积是.7/7解：因为相对的两个面上的数字之和是7，故最上面一块看不见的一面是1；中间一块，5的对面是2，1的对面是6，看不见的两块是3和4；下面一块，6的对面是1，4的对面是3，看不见的两块是5和2.于
