高中数学默会知识的局部探究的案例研究

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1、高中数学默会知识的局部探究的案例研究一、默会知识局部探究的教学案例例如：问题1,用一块边长为30cm的正方形纸板，在它的四个角各剪去一个同样大小的正方形不用，做成一个无盖的长方体纸盒(剪贴处的厚度和损耗不计,下同)，这个纸盒的最大体积为多少？老师们在上课时常这样处理：①设四个小正方形边长为xcm,求出做成纸盒的体积v=x(30-2x)2.②再利用三元均值不等式求出体积的最大值，v=2(2兀)(15-兀)(15-2兀)<2严+(157)+(15-朗］3=2000(67/?3)；③求岀取得等号的条件并作答，当且仅当2兀

2、=15-兀

3、

4、Jx=5cm时等号成立，故剪去小正方形边长为5cm时,做成纸盒的最大体积为2000(cm)o这种简单的讲授方式有利于学生将这种求最大值的方法套用到其它题目上，在考试试题结论较为封闭、题目较为熟悉的情况下顺利作答，取得好成绩，这实质上是从明确知识到明确知识学习的言传，不利于学生了解纸盒的形成过程和可能有的另外的制作情况，不利于学生全面深入地，由表及里地分析身边的事物，更谈不上培养学生的创新精神和实践能力，形不成默会知识。用默会知识改进数学教学数学教学要符合学生的思维发展与认知规律，有利于学生在学习明确知

5、识的同时增加默会知识，并实现它们的融会贯通，采用有利于知识学习的四种学习方式，问题1的教学可以如下改进：①设置情境•现场拆开一个无盖纸盒(如鞋盒)，让学生观察它是如何做成的，学生通过观察讨论，发现它是一个矩形纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把各边折起来粘贴而成的。②定向求解.呈现前而的问题1,探求其做成纸盒最大体积的求解过程，然后变化成问题2.用一块长为80cm,宽为50cm的长方形纸板，在它的四个角各剪去一个同样大小的正方形不用，做成了一个无盖的长方体纸盒，问制成纸盒的最大体积为多少?学生自然能顺利得到

6、八4x(25-%)(40-x)，但利用三元均值不等式求体积的最大值时发现取等条件2x=40-^=25-x不成立，问题求解陷入僵局。此时，应引导学生观察，发现必须给它们合理配以系数，才能使三者相等，为此应引人参数％,使v=兰(ax)(25h-加)(40-x)

7、=4x(15-x)2=f(x)=4x3一120x2+900x再令广⑴=0有12—240兀+900=0,得兀=5或15,比较/⑸和兀⑸，发现"的最大值为/(5)=2000.同理，令^=4x(40-x)(25-x)=g(x)=4^-240/+4000x,再令g心)=0,即12x2-480x+4000=0,得兀=10或30,发现"的最大值为(10)=18000.进一步探讨，发现此类问题都可用求导法，且这是一种行之有效的解决方法。点评：用均值不等式和求导数方法求(含有约束条件的)代数式的最大值，不论是正面求解还是负面反思，

8、都体现了对明确知识的接收式学习过程。②开放探求Jo将问题2条件略改，得到问题3。用一块长为80cm,宽50cm的长方形纸版做成一个无盖的长方体纸盒，尽可能大的体积为多少?学生通过与问题2的对比，发现问题2至少浪费四个小正方形，因而可将其剪成细条，贴接在制成长方体盒子的口上增大体积，得到新盒子的体积V=22000(cm3)；再分析，学生发现可以先在长方形纸板右侧两角剪下两个边长为12.5cm的小正方形，将其粘贴到左侧中间，即可制成一个无盖长方体盒子，体积为21093.75(cm3)；也可以在长方形上方剪下两个边长为2

9、0cm的小正方形，粘贴到下方中间，制成一个纸盒,体积为24000(cm3)o③再反思.观察刚才的三个无盖纸盒，其表面积一样大，但体积不等，发现越方(即接近正方体)的体积越大.启发学生大胆猜想，如果不考虑如何设计，仅探求理论上体积的最大值，应为多大?可设长方体纸盒长宽高分别为由面积相等〃+2/?c+2gc=80x50,由均值不等式4000=〃+2加+2Q3炖莎，从而：心加＜型甞~24343(肿),学生甚至可以由于发散开去，如果不是长方体盒子，而是等边圆柱，半球体,理论上的最大值应为多少。④评价赏析.针对上面的设计，让

10、学生发表意见，喜欢哪一种，说明理由.点评：不论是学生思维深处的理性探索发现，还是对别人成果的感性评价认识，都能丰富内心情感、体验和智慧，体现出对默会知识的感受式学习。⑤联系实际.学以致用，现场拆开一些纸盒，看看它们是如何制作而成的,学生在观察对比中发现各种商品的包装盒制作千奇白怪，每种都有其合理的成分，也有值得改进的地方，让学生选择一种，充分发表意见，可从制