数学探究中的模型建构

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1、数学模型理解与建构的心理机制及其教育启示浙江省仙居县教育局教研室吴增牛地址:浙江省仙居县穿城中路31号电话:13819661197email:wzs2678@163.com数学模型是思维的支撑点，也是知识的附着点.学生对数学概念的理解和抽象都是针对一•定的模型进行的，概念模型不仅是数学概念的典型样例，而H是数学概念表征的重要方式,人们以模型与特征捆绑的图式化表征与概念关系表征相结合的方式理解数学概念及概念体系［1］；对数学棊木事实的理解与发现则是根据模型的结构特征，建立相关概念Z间的因杲联系，没有数学模型，也就谈不上对反映模型特征、结构和关系的数学事实和数学原理的

2、理解和发现；学牛对数学思想方法的理解则是在解决数学问题（探索问题结构特征和关系）的过程中，以解伏回題P勺程序为对彖进行数学归纳和抽象，程序也是一种数学模型，本质上也是对数学模型的特征、结构和关系的归纳和抽象;演绎推理是一种由因及果的程序，木质上也是一种模型，如数学屮直接证明的“三段论”的基木模型是由人前提“M是P”、小前提“S是M”和结论“S是P”组成的逻辑程序，口J以用集合关系描述成“MwP,SwMnSwM”［2］；而反证法是建立在四种命题关系基础上的推理程序.一、数学模型的涵义及其表现形式数学研究的核心对象是各种模型的结构、特征和关系.数学模型指的是经过数学抽

3、象的具有数量关系和空间结构的直观对象，具有可观察、可描述、可操纵（分拆、组合和变换）等特征，本质上，模型是一个集合，它是人们对客观对象的结构、特征及其关系进行抽象、分拆、重组和逻辑思辩的对象和产物.现代数学研究的三大基本结构（序结构、拓扑结构和代数结构）中，序结构是由序关系公理（①X/兀,ywA,xHy,有xCy或yCx；②X/x,y,zwA,如果xCy,yCz则xCz；③如果xCy,yCx则*y）［3］确立的元素关系的集合，是基于实数集屮人小关系研究对象泛化后进一步抽象得到的新模型；拓扑结构研究指的是由系列集合经过分拆、重组后得到的新的集类的拓扑特征（拓扑变换卞

4、的不变性）的研究，拓扑结构是对实数集上极限连续微分等无穷小研究方法的基于研究对象泛化后进一步抽象而得到的新的模型川U代数结构则是基于数集中运算特征（运算的封闭性、运算律具备性、单位元和逆元的存在性）的研究对象泛化后进一步抽象而产生的新的模型.当代数学的研究对彖是来口于广泛领域的大范围复杂系统的扁度抽象的数学模型及其系统•例如，动力系统是当代数学研究的重要领域，动力系统中所研究的对象是由微分方程组所确定的时空空间结构和相空间结构；在非线性动力系统（混沌系统）研究中，儿何分析和函数叠代是重要的研究方法，微分方程（组）所确定的模型（动力系统的“流”）的特征研究（如相图、

5、不动点、极限集、吸引子、周期轨）就构成了动力系统研究的主要内容.在初等数学中，考虑到学生的可学习性和知识经验形成的心理特点，初等数学的学习不是以模型结构为线索进行的，但仍然可见数学模型和结构思想的雏形•如数系的扩展和数的运算学习及其在此基础上通过数的抽彖形成式的运算的学习；从式子的运算结果到运算元索的逆向研究就构成了方程和方程组的模型;在不等关系的抽象和特征研究中形成了不等式学习的内容；在数集之间的对应关系模型研究中产生了一次函数、二次函数、幕函数、指数函数、对数函数等具体函数模型，经过进一步抽象后形成了抽象的函数模型；从三维空间中的元素分拆和现实图形的抽象形成了

6、儿何研究的皋木模型：点、线、面、体，再通过这些基本模型的重组和变换就构成了初等几何学习与研究的丰富多彩的图形和图形关系.数学模型的本质形式是集合与集合系统，基本的农现形式有：公理化形式、数量关系形式、图形形式和程序形式，在初等数学中，皋木的表现形式是：“数一式”形式、图形图象形式、表格形式、程序与框图形式.在具体模型中，可能是以上述四种基本形式的若干种结合和交叉的形式出现，而其中最重要的是“数一式”与图形图象基本形式的结合与交叉,这是产生“数形结合思想”的生长点.二、理解和构建数学模型的心理机制1.模型理解.所谓理解数学模型指的是知道给定的数学模型的由来，会以典型

7、数学模型为载体，解析相关的数学概念、事实和原理，知道属于不同数学概念的数学模型Z间的相互关系，会在变化背景的情况下辨别数学模型并利用该模型有关的数学知识解决问题.(1)数学模型的理解是从整体到部分的过程，是从拓扑到度量的过程.对模型的知觉是理解数学模型的基础阶段，数学模型的知觉主要是视知觉.我国学者陈霖提出了著名的“拓扑性质知觉理论”，他认为：“知觉的组织应该是从变换和变换中的不变性知觉的角度来理解.两个方面是，第一方面强调形状知觉屮的拓扑结构，这就是，知觉的组织的人范围性质能够川拓扑不变性來描述；第二方而进一步强调早期拓扑性质知觉，这就是，拓扑性质知觉优先于局部

8、特征性质(