渗透模型思想，建构数学模型

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1、渗透模型思想，建构数学模型　　“鸡兔同笼”问题是我国古代算书《孙子算经》中的名题，也是我国民间广为流传的数学趣题，如今人教版（六年级上册第七单元“数学广角”）和苏教版都作为教学内容编入教材（苏教版六年级上册第七单元例2）。　　一、小学高年级学生的思维发展从具体运算阶段向形式运算阶段过渡，能够运用假设――演绎推理的方式解决“鸡兔同笼”问题　　1.根据该学段学生心理特点与已有知识经验培养他们的数学推理素质。儿童心理学说：形式运算阶段的儿童能在考察问题细节的基础上，假设这种或那种理论或解释是正确的，再从假设中演绎出从逻辑上讲这样或那样的经验现象实际上应该或不应

2、该出现，然后检验他的理论，看这些预见的现象是否确实出现。苏教版六年级数学上册编排这节具有挑战性内容，目的是培养学生分析、综合和简单的推理能力，感受“替换”策略的价值，形成数学思想，有助于培养学生对数学的积极情感体验，是数学本身的魅力所在。　　2.教师潜心钻研教材，从教材的编写意图出发，深度挖掘教材内涵，突破教材的“局限性”，弥补教材的“缺憾”4。教师的教学如果不能激发学生自主探索的欲望，便无助于学生思维的发展。教材给学生留有思维的空间，给教师再创造的余地。苏教版六年级数学上册91页在例题2呈现后，提出思考：你准备怎样解决这个问题？这个问题的抛出，对学生很

3、有难度。教材的呈现形式是静态的，它不能完整地表达设计意图，暴露出内容的复杂性与学生思维的局限性之间的矛盾，显得问题有些突兀。教师教学中，要给学生设计合理的思维梯度，将问题分解，为了解决矛盾，摆脱书本给学生带来思维的禁锢（数据大），故重设准备题：有若干只鸡和兔子，它们共有8个头，22只脚，鸡和兔各有多少只？　　二、具体运算阶段的学生，从感性到理性是最重要的认知途径，考虑到他们的认知差异，为他们提供首次感知需要的充分的感性材料　　准备题的条件简单，问题简单，但是学生对这类题思维方式凌乱，“鸡兔”换成“鹤龟”就会出现问题。为了促进学生理解题意，教师必须提供有关

4、的感性材料（鸡和兔的实物图片），这些材料能给他们带来无尽的直觉源泉，能力稍差的学生可以根据实物图圈圈画画数数得出答案，思维能力稍好的学生借助列表得出答案。直观感性的材料是学生解决问题时的思维起点，也是问题的直接呈现形式，易于激发学生的求知欲与兴趣。　　三、引导学生摈弃感性，概括归纳，达到认知上能接受的抽象程度――“替换”策略模型　　直观感性的材料有其局限性，它难以突出数学问题的本质，所以要适时脱离与摆脱它。感性材料只是解决问题的辅助手段，是寻找答案的切口。学生沿着这个切口，通过对问题的深入探究，使信息达到“多向化”交汇。　　荷兰数学家弗赖登塔尔指出：数学

5、知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的。学生的思维发展的“拐杖”4是教师支持性的语言，他们的列表（逐一列表、折中列表、跳跃列表）已经很成熟，需进一步优化，形成解决问题的策略：假设8只都是兔，就会有32条腿，显然比实际多了10条，每次替换一只兔为一只鸡，就会少2条腿。结论是共需替换5次，把32条调整成22条。　　四、优化列表，发现数学规律，建构“替换”的策略模型，回归数学本质，逐步形成运用策略的意识，初步领略数学的抽象性　　运用策略的过程，进行有条理的思考，清晰地表述思路后，把“鸡兔”这两种载体剥离，概括为算式：　　上式概括为：8个数，是2或8

6、，它们的总和是22。问其中有几个2几个4？如果8个数都是2，和是16。如果把2换成4，和便增加2。如此替换了3次，和便是22。列式为：（22-8×2）÷（4-2）=3　　假设8个数都是4，和是32。如果把4换成2，和便减少2。如此替换5次，和便是22。列式为：（8×4-22）÷（4-2）=5　　也就是8个数中有3个4和5个2，它们的总和22。　　形如：a+a+a……+a+b+b……+b=c或a+a……+a-b-b……-b=c　　已知m个a和n个b的和（或差）是c，求m和n。（a、b、c均已知。）　　生活中存在这样的“鸡兔”“大船小船”等都是支撑a、b、c

7、的载体，数量关系的实际问题很多，学生可以根据已经习得的策略，举一反三，起到触类旁通的正迁移作用。　　五、类化思路，套用模型，形成思想，创造性地应用策略模型解决问题　　1.套用模型，形成思想。“替换”策略是解决“鸡兔同笼”4问题的一种特殊策略，蕴涵着有趣的数学规律，它培养了学生的逻辑思维能力、推理能力，同时对学生的思维灵活性大有裨益。学生对解决问题的策略的认识是从模糊到清晰的过程，例题或准备题的学习，从画图或列表中，总结出规律，整合思路，感知策略。为了加深学生刚刚建构起的策略，要进行反复多次的应用，使之印象深刻，达到应用自如的境界。　　2.深化思想，练就“

8、火眼金睛”，创造性地运用模型解决问题。“替换”策略模型可以使原本复杂的问题简单化