山东省菏泽市2017-2018学年高一上学期期末七校联考数学试题（A卷）（解析版）

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2017-2018学年山东省菏泽市七校联考高一（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=Z，集合A={x|-2≤x≤10，x∈Z}，B={x|-2≤x≤8，x∈N}，则集合A∩∁UB中元素个数为（　　）A.7B.6C.5D.42.若直线2x+y+3=0与直线y=kx+4平行，则实数k的值为（　　）A.-2B.-12C.12D.23.已知幂函数f（x）=xa的图象经过点P（-2，4），则下列不等关系正确的是（　　）A.f(-1)f(-5)D.f(6)>f(-6)4.若球O的半径为5，且球心O到平面α的距离为4，则平面α截球O所得截面圆的面积为（　　）A.8πB.9πC.10πD.12π5.已知a=315，b=log332，c=log153，则a，b，c三个数的大小关系为（　　）A.b0，则f（-2）+f（2）=______．6.已知三棱锥D-ABC的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=3，AD=BC=32，AD⊥底面ABC，则球O的表面积为______．7.设函数f（x）=|13x2-x+t|，t∈R，记f（x）在区间[0，3]上的最大值为g（t），在t变化时，则g（t）的最小值为______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）8.已知集合A={x|1≤2x-1≤5}，B={x|3x-1＜5}，C={x|x≤a或x≥a+1}．（1）求A∩B，AUB（2）若（∁RC）⊆A，求实数a的取值范围．9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E，F，G分别是AB，PC，CD的中点．求证：（1）CD⊥PD；（2）平面EFG∥平面PAD． 1.已知函数f（x）=1ogax（a＞0且a≠1）（1）若a=2，求函数y=f（64x）f（2x）的最大值及相应x的值；（2）若f（3a-2）＞f（a），求实数a的取值范围．2.已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B（-2，0）的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，|MN|=219．（1）求圆A的标准方程；（2）求直线l的方程．3.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AA1⊥平面ABCD，E为AA1中点，AA1=AB=2．（1）求证：AC1∥平面B1D1E；（2）求点C到平面B1D1E的距离；（3）在AC1上是否在点M，满足AC1⊥平面MB1D1？若存在，求出AM的长，若不存在，说明理由． 1.已知函数f（x）=x+ax+2b，函数y=xf（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，且f（2）=12．（1）求a，b的值；（2）若不等式f（2x）-k•2x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2x-1|）+k⋅2|2x-1|-3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围． 答案和解析1.【答案】D【解析】解：全集U=Z，集合A={x|-2≤x≤10，x∈Z}={-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B={x|-2≤x≤8，x∈N}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}∴A∩∁UB={-2，-1，9，10}则集合A∩∁UB中元素个数为4个，故选：D．利用交、并、补集的混合运算得答案．本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵直线2x+y+3=0与直线y=kx+4平行，∴k=-2，∴实数k的值为-2．故选：A．利用直线与直线平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：幂函数f（x）=xa的图象经过点P（-2，4），∴（-2）α=4，解得α=2，∴f（x）=x2；∴f（-1）＜f（2），A正确，f（-3）=f（3），B错误；f（4）＜f（-5），C错误；f（6）=f（-6），D错误．故选：A．根据幂函数f（x）的图象过点P求出f（x）的解析式，再比较函数值的大小．本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．4.【答案】B【解析】 解：作出对应的截面图，∵球的半径R=5，球心距d=4，∴截面圆半径r==3，故截面圆面积S=πr2=9π故选：B．根据球的半径R、球心距，求出截面圆半径，可得截面面积．本题考查球性质，点到平面的距离，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：a=3＞0，b=log3∈（0，1），c=log3＜0，则a，b，c三个数的大小关系是c＜b＜a．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由已知的三视图可得：该几何体是正方体的一部分，如图：是五棱柱截去也是三棱锥的几何体；故棱柱的体积V==，故选：D．由已知的三视图画出几何体是直观图，是正方体是一部分，利用三视图的数据代入棱柱体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．7.【答案】C【解析】解：由f（-）=-＜0，因为256＞243，可得，即：3-1，可得：，即f（）=＞0，由零点定理知f（x）的零点x0在区间（-，）上，故选：C． 函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点．本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，本题的解题的关键是检验函数值的符号．8.【答案】B【解析】解：函数f（x）=3-|x|-m是偶函数，x＞0时，函数是减函数，函数的最大值为：1-m=3，解得m=-2．故选：B．利用函数的奇偶性，求解函数的最值，列出方程，求解即可．本题考查函数的最值，考查转化思想以及计算能力．9.【答案】D【解析】解：∵B（6，0），C（0，4），∴直线BC的方程是+=1，即2x+3y-12=0，∵光线经直线BC反射后，恰好经过原点O，∴原点O关于直线BC的对称点在入射光线上，设原点原点O关于直线BC的对称点是（x0，y0），则，解得x0=，y0=，∵入射光线经过点A（2，0），∴入射光线所在的直线的斜率为k==，故选：D．先求出直线BC的方程，再根据题意可得原点O关于直线BC的对称点在入射光线上，设原点原点O关于直线BC的对称点是（x0，y0），则，解得之后，再根据斜率公式计算即可本题考查了直线方程，直线的斜率，点的对称，属于中档题10.【答案】B【解析】解：圆心（0，0）到直线l的距离d==3，圆的半径r=2，∴|AB|=2=2， 设直线l的倾斜角为α，则tanα=，∴α=30°，过C作l的平行线交BD于E，则∠ECD=30°，CE=AB=2，∴CD===4．故选：B．利用垂径定理计算弦长|AB|，计算直线l的倾斜角，利用三角函数的定义计算CD．本题考查了直线与圆的位置关系，直线方程，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：函数y=|x|（x-1）=，函数y=|x|（x-1）的图象与直线y=2（x-t）有且只有2个公共点，即直线y=2（x-t）分别与y=x2-x与y=-x2+x相切，联立得：x2-3x+2t=0，则△=0，得9-8t=0，∴t=，联立得：x2+x-2t=0，则△=0，得1+8t=0，∴t=-即实数t的所有取值之和为+（-=1，故选：C．函数y=|x|（x-1）=，函数y=|x|（x-1）的图象与直线y=2（x-t）有且只有2个公共点，即直线y=2（x-t）分别与y=x2-x与y=-x2+x相切，联立两方程组后分别用△=0求解即可本题考查了分段函数及数形结合的思想，属中档题．12.【答案】A【解析】解：根据题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠PAQ为60°时，∠PMQ为120°，所以MA的长度为4，故问题转化为在直线上找到一点，使它到点M的距离为4．设A（x0，6-x0），则∵M（1，1），∴（x0-1）2+（5-x0）2=16∴x0=1或5， ∴点A的横坐标x0的取值范围是[1，5]；故选：A．根据题意，由直线与圆的位置关系，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠PAQ为60°时，∠PMQ为120°，所以MA的长度为4，故可确定点A的横坐标x0的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是明确从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角．13.【答案】1或5【解析】解：∵A（m，1，2），B3，-1，-2），∴|AB|=．解得m=1或5，故答案为：1或5由已知中A（m，1，2），B3，-1，-2），且|AB|=2，代入两点之间距离公式，可得答案．本题考查空间两点之间的距离公式，考查学生的计算能力，是一个基础题．14.【答案】74【解析】解：根据题意，f（x）=，则f（2）=log42=，f（-2）=2-2+1=，则f（-2）+f（2）=；故答案为：根据题意，由函数的解析式计算f（2）与f（-2）的值，相加即可得答案．本题考查分段函数的求值，注意分段函数的解析式形式，属于基础题．15.【答案】36π【解析】 解：如图，由所给数据，易知AC⊥AB，又AD⊥平面ABC，可知，所给三棱锥是球内接长方体的一角，球直径为长方体的体对角线长，长方体体对角线长为6，得球半径为3，得球面积为36π．故答案为：36π．由所给数据结合勾股定理可得AC，AB垂直，进而得AC，AB，AD两两垂直，从而联想长方体内接于球，得解．此题考查了长方体外接球的问题，难度不大．16.【答案】38【解析】解：若△≤0，即1-t≤0，解得t≥，则f（x）=|x2-x+t|=x2-x+t，对称轴为x=，在区间[0，]递减，在[，3]递增，可得f（0）=f（3）=t，且为最大值；若t＜，则△＞0，由f（0）-f（）=|t|-|t-|，当≤t＜，可得f（0）≥f（），可得f（x）的最大值为t；当t＜，可得f（0）＜f（）， 可得f（x）的最大值为|t-|，则g（t）=，可得g（t）≥，则g（t）的最小值为，故答案为：．讨论判别式的符号，二次函数的最值的取得，以及对称轴处的函数值，结合单调性，即可得到所求最小值．本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论判别式的符号，以及区间的端点处的函数值和顶点处的函数值的大小关系，考查运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵集合A={x|1≤2x-1≤5}={x|1≤x≤3}，B={x|3x-1＜5}={x|x＜2}，∴A∩B={x|1≤x＜2}，AUB={x|x≤3}．（2）∵C={x|x≤a或x≥a+1}，（∁RC）⊆A，∴∁UC={x|a＜x＜a+1}，∴a≥1，a+1≤3，解得1≤a≤2，∴实数a的取值范围是[1，2]．【解析】（1）分别求出集合A，B，由此能求出A∩B，AUB．（2）由C={x|x≤a或x≥a+1}，（∁RC）⊆A，得∁UC={x|a＜x＜a+1}，从而a≥1，a+1≤3，由此能求出实数a的取值范围．本题考查交集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、并集、补集、子集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA，又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD．（2）∵矩形ABCD中，E、G分别是AB、CD中点，∴EG∥AD，∵EG⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴EG∥平面PAD，∵F是PC中点，∴FG∥PD，∵FG⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴FG∥平面PAD，∵EG∩FG=G，EG、FG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PAD．【解析】（1）推导出CD⊥PA，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明CD⊥PD．（2）推导出EG∥AD，从而EG∥平面PAD，进而FG∥PD，FG∥平面PAD，由此能证明平面EFG∥平面PAD．本题考查线线垂直的证明，考查面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）a=2时，f（x）=log2x，y=f（64x）f（2x）=6+5log2x-(log2x)2，故log2x=52时，函数取得最大值，且最大值是494，此时x=42；（2）函数的定义域是（0，+∞），当a＞1时，f（x）是增函数，由条件得：3a-2＞a＞1，故a＞1，当0＜a＜1时，f（x）是减函数，由条件得：0＜3a-2＜a＜1，故23＜a＜1，综上，a的范围是（23，1）∪（1，+∞）．【解析】（1）代入a的值，结合二次函数的性质求出函数的最大值以及对应的x的值即可；（2）通过讨论a的范围，结合函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的单调性以及转化思想，是一道中档题．20.【答案】解：（1）设圆A的半径为R，因为圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，∴R=|-1+4+7|5=25，∴圆A的方程为（x+1）2+（y-2）2=20．（2）①当直线l与x轴垂直时，易知x=-2符合题意；②当直线l与x轴不垂直时，设直线的方程为y=k（x+2），即kx-y+2k=0．连接AQ，则AQ⊥MN，∵MN=219，∴AQ=20-19=1，则由AQ=|k-2|k2+1=1得k=34，∴直线l为：3x-4y+6=0，故直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0．【解析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，属于中档题． 21.【答案】证明：（1）连结A1C1，交B1D1于点F，连结EF，∵底面ABCD是菱形，∴A1B1C1D1是菱形，∴F是A1C1的中点，∵E是AA1的中点，∴EF∥AC，∵EF⊂平面B1D1E，AC1⊄平面B1D1E，∴AC1∥平面B1D1E．解：（2）连结A1C，交EF于点N，∵棱柱中AA1C1C是平行四边形，且E、F分别是AA1，A1C1的中点，∴CN=3A1N，又EF⊂平面B1D1E，∴点C到平面B1D1E的距离是点A1到平面B1D1E的距离的3倍，∵菱形A1B1C1D1中，∠A1B1C1=∠ABC=60°，AA1=AB=2，∴A1C1=2，A1E=1，又AA1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AA1⊥AC，又A1C1∥AC，∴AA1⊥A1C1，∴EF=2，∴△A1B1C1面积为3，△B1D1E的面积为6，由VA1-B1D1E=VE-A1B1D1，得13S△B1D1E⋅h=13S△A1B1D1⋅A1E，其中，h是A1到平面B1D1E的距离，解得h=22，∴点C到平面B1D1E的距离为322．（3）∵AA1⊥平面ABCD，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，∴AA1⊥A1B1C1D1，∵B1D1⊂A1B1C1D1，∴B1D1⊥AA1，∵菱形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1，A1C1∩AA1=A1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴AC1⊥B1D1，在F在Rt△AA1C1中，作FM⊥AC1，垂足为M，则由FM∩B1D1=F，FM，B1D1⊂平面MB1D1，得AC1⊥平面MB1D1，∴在AC1上在点M，满足AC1⊥平面MB1D1，在Rt△AA1C1中，AA1=A1C1=2，AC2=22，AC1=22，F是A1C1的中点，∴C1M=FM=22，∴AM=22-22=322．【解析】（1）连结A1C1，交B1D1于点F，连结EF，推导出EF∥AC，由此能证明AC1∥平面B1D1E．（2）连结A1C，交EF于点N，推导出点C到平面B1D1E的距离是点A1到平面B1D1E的距离的3倍，由=，求出A1到平面B1D1E的距离，由此能求出点C到平面B1D1E的距离．（3）推导出AA1⊥A1B1C1D1，B1D1⊥AA1，B1D1⊥A1C1，从而AC1⊥B1D1，作FM⊥AC1，垂足为M，则 AC1⊥平面MB1D1，由此得到在AC1上在点M，满足AC1⊥平面MB1D1，并能求出AM．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．22.【答案】解：（1）∵y=xf（x）=x2+a+2bx在（0，1）上减函数，在（1，2）上是增函数，∴b=-1，又f（2）=12，∴2+a2+2b=12，∴a=1；（2）由已知可得f（x）=x+1x-2，所以f（2x）-k•2≥0可化为2x+12x-2≥k•2x，化为1+(12x)2-2•12x≥k，令t=12x，则k≤t2-2t+1，因x∈[-1，1]，故t∈[12，2]，记h（t）=t2-2t+1，因为t∈[12，1]，故h（t）min=0，所以k的取值范围是（-∞，0]．（3）原方程可化为|2x-1|2-（3k+2）•|2x-1|+（2k+1）=0，令|2x-1|=t，则t∈（0，+∞），t2-（3k+2）t+（2k+1）=0有两个不同的实数解t1，t2，其中0＜t1＜1，t2＞1，或0＜t1＜1，t2=1，记h（t）=t2-（3k+1）t+（2k+1），则h(1)=-k<02k+1>0①，2k+1＞0h(1)=-k=00＜3k+22＜1②解不等组①，得k＞0，而不等式组②无实数解，所以实数k的取值范围是（0，+∞）．【解析】（1）根据函数的单调性求出a，b的值即可；（2）化为1+-2•≥k，令t=，则k≤t2-2t+1，根据函数的单调性求出k的范围即可；（3）记h（t）=t2-（3k+1）t+（2k+1），得到关于k的不等式组，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立以及求函数的最值问题，考查转化思想，换元思想，是一道综合题．